【正文】 五、歸納小結（學生歸納，總結發(fā)言老師點評） 本節(jié)課應掌握： 1．直線和圓相交、割線、直線和圓相切，切線、切點、直線和圓相離等概念． 2．設⊙ O 的半徑為 r，直線 L 到圓心 O 的距離為 d 則有： 直線 L 和⊙ O 相交 ? dr 直線 L 和⊙ O 相切 ? d=r 直線 L 和⊙ O 相離 ? dr 3．切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 4．切線的性質定理，圓的切線垂直于過切點的半徑． 5．應用上面的知識解決實際問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P110 復習鞏固 5． 與圓有關的位置關系 (第 3 課時 ) 教學內容 1．切線長的概念． 2．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 3．三角形的內切圓及三角形內心的概念． 教學目標 了解切線長的概念． 23 理解切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心的概念，熟練掌握它的應用． 復習圓與直線的位置關系和切線的判定定理、性質定理知識遷移到切長線的概念和切線長定理，然后根 據(jù)所學三角形角平分線的性質給出三角形的內切圓和三角形的內心概念，最后應用它們解決一些實際問題． 重難點、關鍵 1．重點：切線長定理及其運用． 2． 難點與關鍵：切線長定理的導出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題． 教學過程 一、復習引入 1．已知△ ABC，作三個內角平分線，說說它具有什么性質？ 2．點和圓有幾種位置關系？你能說說在這一節(jié)中應掌握幾個方面的知識？ 3．直線和圓有什么位置關系？切線的判定定理和性質定理，它們如何？ 老師 點評：（ 1）在黑板上作出△ ABC 的三條角平分線，并口述其性質： ①三條角平分線相交于一點；②交點到三條邊的距離相等． （ 2）（口述）點和圓的位置關系有三種，點在圓內 ? dr；點在圓上 ? d=r；點在圓外 ? dr；不在同一直線上的三個點確定一個圓；反證法的思想． （ 3）（口述）直線和圓的位置關系同樣有三種：直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和⊙相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr；切線的判定定理： 經過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線；切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑． 二、探索新知 從上面的復習，我們可以知道，過⊙ O 上任一點 A 都可以作一條切線， 并且只有一條，根據(jù)下面提出的問題操作思考并解決這個問題． 問題：在你手中的紙上畫出⊙ O，并畫出過 A 點的唯 一切線 PA， 連結 PO， 沿著直線 PO 將紙對折，設圓上與點 A 重合的點為 B，這時， OB 是⊙ O 的一條半徑嗎？ PB 是⊙ O 的切線嗎？利用圖形的軸對稱性，說明圓中的 PA 與 PB，∠ APO與∠ BPO 有什么關系？ 學生分組討論，老師抽取 3～ 4 位同學回答這個問題． 老師點評： OB與 OA 重疊， OA 是半徑， OB 也就是半徑了．又因為 OB 是半徑， PB 為 OB 的外端，又根據(jù)折疊后的角不變，所以 PB 是⊙ O 的又一條切線，根據(jù)軸對稱性質， 我們很容易得到 PA=PB，∠ APO=∠BPO． 我們把 PA 或 PB 的長，即經過圓 外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長， 叫做這點到圓的切線長． 從上面的操作幾何我們可以得到： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 24 ww w . cz sx . co m . OBAPBACEDOF 下面，我們給予邏輯證明． 例 1． 如圖，已知 PA、 PB是⊙ O的兩條切線． 求證： PA=PB，∠ OPA=∠ OPB． 證明：∵ PA、 PB 是⊙ O 的兩條切線． ∴ OA⊥ AP， OB⊥ BP 又 OA=OB， OP=OP， ∴ Rt△ AOP≌ Rt△ BOP ∴ PA=PB， ∠ OPA=∠ OPB 因此，我們得到切線長定理： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 我們剛才已經復習，三角形的三條角平分線于一點，并且這個點到三條邊的距離相等． （同剛才畫的圖）設交點為 I，那么 I 到 AB、 AC、 BC 的距離相等，如圖所示，因此以點 I 為圓心，點 I 到 BC 的距離 ID 為半徑作圓，則⊙ I 與△ ABC 的三條邊都相切． 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓， 內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心． 例 2．如圖，已知⊙ O 是△ ABC 的內切圓，切點為 D、 E、 F，如果 AE=1， CD=2， BF=3，且△ ABC 的面積為 6．求內切圓的半徑 r． 分析：直接求內切圓的半徑有困難，由于面積是已知的， 因此要轉化為面積法來求．就需添加輔助線，如果連結 AO、 BO、 CO，就可把三角形 ABC 分為三塊， 那么就可解決． 解：連結 AO、 BO、 CO ∵⊙ O 是△ ABC 的內切圓且 D、 E、 F是切點． ∴ AF=AE=1， BD=BF=3， CE=CD=2 ∴ AB=4， BC=5， AC=3 又 ∵ S△ ABC=6 ∴ 12 （ 4+5+3） r=6 ∴ r=1 答：所求的內切圓的半徑為 1． 三、鞏固練習 教材 P106 練習． 四、應用拓展 lww sx .co AC 25 例 3． 如圖，⊙ O 的直徑 AB=12cm， AM、 BN 是兩條切線， DC 切⊙ O 于 E，交 AM 于 D， 交 BN 于 C，設AD=x， BC=y． （ 1）求 y 與 x 的函數(shù)關系式，并說明是什么函數(shù)？ （ 2）若 x、 y 是方程 2t230t+m=0的兩根，求 x， y 的值． （ 3）求△ COD 的面積． ww sx .co BACEDONM 分析：（ 1）要求 y 與 x 的函數(shù)關系，就是求 BC與 AD 的關系， 根據(jù)切線長定理： DE=AD=x， CE=CB=y，即 DC=x+y， 又因為 AB=12，所以只要作 DF⊥ BC 垂足為 F， 根據(jù)勾股定理，便可求得． （ 2）∵ x， y 是 2t230t+m=0的兩根， 那么 x1+x2= 3 0 9 0 0 8 3 0 9 0 0 8 6 04 4 4mm? ? ? ???， x1x2=2m ，便可求得 x、 y 的值． （ 3）連結 OE，便可求得． 解：（ 1）過點 D 作 DF⊥ BC，垂足為 F，則四邊形 ABFD為矩形． ∵⊙ O 切 AM、 BN、 CD 于 A、 B、 E ∴ DE=AD， CE=CB ∵ AD=x， CB=y ∴ CF=yx， CD=x+y 在 Rt△ DCF 中， DC2=DF2+CF2 即（ x+y） 2=（ xy） 2+122 ∴ xy=36 ∴ y=36x 為反比例函數(shù)； （ 2）由 x、 y 是方程 2t30t+m=0的兩根，可 得： x+y= 223 0 3 0 8 3 0 3 0 844mm? ? ? ??=15 26 同理可得： xy=36 ∴ x=3， y=12或 x=12， y=3． （ 3）連結 OE，則 OE⊥ CD ∴ S△ COD=12 CD 綜上： CD 是⊙ O 的切線 ． （ 2）在 Rt△ OCD 中，∠ D=30176。又由∠ DCB=∠ A=30176。的圓周角所對的弦是直徑． 下面，我 們通過這個定理和推論來解一些題目． 例 1．如圖， AB 是⊙ O 的直徑， BD 是⊙ O 的弦，延長 BD 到 C，使 AC=AB， BD與 CD 的大小有什么關系？為什么？ 分析： BD=CD，因為 AB=AC，所以這個△ ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點， 只要連結 AD 證明 AD是高或是∠ BAC 的平分線即可． 解： BD=CD 理由是：如圖 2430，連接 AD ∵ AB 是⊙ O 的直徑 ∴∠ ADB=90176。AB， AB=A/B/． 現(xiàn)在它的證明方法就轉化為前面的說明了， 這就是又回到了我們的數(shù)學思想上去呢──化歸思想，化未知為已知，因此，我們可 以得到下面的定理： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等． 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等， 所對的弦也相等． 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等， 所對的弧也相等． （學生活動）請同學們現(xiàn)在給予說明一下． 請三位同學到黑板板書，老師點評． 例 1． 如圖，在⊙ O 中， AB、 CD 是兩條弦， OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足分別為 EF． （ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE 與 OF 的大小有什么關系？為什么？ （ 2）如果 OE=OF，那么 AB 與 CD的大小有什么關系？ AB 與 CD 的大小有什么關系？ 為什么？∠ AOB 與∠ COD 呢？ OBACEDF 10 分析：（ 1）要說明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE和直角三角形 COF中說明 AE=CF，即說明 AB=CD，因此，只要運用前面所講的定理即可． （ 2）∵ OE=OF，∴在 Rt△ AOE 和 Rt△ COF 中， 又有 AO=CO 是半徑，∴ Rt△ AOE≌ Rt △ COF， ∴ AE=CF，∴ AB=CD，又可運用上面的定理得到 AB =CD 解：（ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠ AOB=∠ COD ∴ AB=CD ∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AE=CF 又∵ OA=OC ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ OE=OF （ 2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB =CD，∠ AOB=∠ COD 理由是： ∵ OA=OC， OE=OF ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ AE=CF 又∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AB=2AE， CD=2CF ∴ AB=CD ∴ AB =CD，∠ AOB=∠ COD 三、鞏固練習 教材 P89 練習 1 教材 P90 練習 2． 四、應用拓展 例 2． 如圖 3 和圖 4， MN 是⊙ O 的 直徑，弦 AB、 CD 相交于 MN 上的一點 P， ∠ APM=∠ CPM． （ 1）由以上條件，你認為 AB 和 CD 大小關系是什么，請說明理由． 11 （ 2）若交點 P 在⊙ O 的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由． BA CEDPONMF BACEDPNMF (3) (4) 分析：（ 1）要說明 AB=CD，只要證明 AB、 CD 所對 的圓心角相等， 只要說明它們的一半相等． 上述結論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的． 解：（ 1） AB=CD 理由：過 O 作 OE、 OF 分別垂直于 AB、 CD，垂足分別為 E、 F ∵∠ APM=∠ CPM ∴∠ 1=∠ 2 OE=OF 連結 OD、 OB 且 OB=OD ∴ Rt△ OFD≌ Rt△ OEB ∴ DF=BE 根據(jù)垂徑定理可得： AB=CD （ 2）作 OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足為 E、 F ∵∠ APM=∠ CPN 且 OP=OP，∠ PEO=∠ PFO=90176。 )O 39。O B 39。AB重合，弦 AB 與弦 A′ B′重合