【正文】 C 三個點(diǎn)的距離相等（中垂線上的任一點(diǎn)到兩邊的距離相等），所以經(jīng)過 A、 B、 C 三點(diǎn)可以作一個圓，并且只能作一個圓． 即： 不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓． 也就是，經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓． 外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心． 下面我們來證明：經(jīng)過同一條直線上的三個點(diǎn)不能作出一個圓． 證明：如圖，假設(shè)過同一直線 L 上的 A、 B、 C 三點(diǎn)可以作一個圓，設(shè)這個圓的圓心為 P，那么點(diǎn) P 既在線段 AB 的垂直平分線 L1，又在線段 BC的垂直平分線 L2， 即點(diǎn) P 為 L1與 L2點(diǎn)，而 L1⊥ L， L2⊥ L，這與我們以前所學(xué)的“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾． 所以，過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓． 上面的證明方法與我們前面所學(xué)的證明方法思路不同，它不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)過同一直線上的三點(diǎn)可以作一個圓），由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到命題成立．這種證明方法叫做反證法． 在某些情景下，反證法是很有效的證明方法． 例 1．某地出 土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示．為復(fù)制該瓷盤確定其圓心和半徑，請?jiān)趫D中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心． l2l1BA CP 18 分析：圓心是一個點(diǎn)，一個點(diǎn)可以由兩條直線交點(diǎn)而成，因此，只要在殘缺的圓盤上任取兩條線段，作線段的中垂線，交點(diǎn)就是我們所求的圓心． 作法：（ 1）在殘缺的圓盤上任取三點(diǎn)連結(jié)成兩條線段； （ 2）作兩線段的中垂線，相交于一點(diǎn)． 則 O 就為所求的圓心． 三、鞏固練習(xí) 教材 P100 練習(xí) 4． 五、歸納總結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評） 本節(jié)課 應(yīng)掌握： 1． 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙ O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離為 d，則 。.P d rP d rP d r???????? ???點(diǎn) 在圓外點(diǎn) 在圓上點(diǎn) 在圓內(nèi) 2．不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓． 3．三角形外接圓和三角形外心的概念． 4．反證法的證明思想． 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 (第 2 課時 ) 教學(xué)內(nèi)容 1．直線和圓相交、割線；直線和圓相切、圓的切線、切點(diǎn)； 直線和圓沒有公共點(diǎn)、直線和圓相離等概念． 2．設(shè)⊙ O 的 半徑為 r，直線 L 到圓心 O 的距離為 d 直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線和⊙ O 相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr． 3．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 4．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑． 5．應(yīng)用以上的內(nèi)容解答題目． 教學(xué)目標(biāo) （ 1）了解直線和圓的位置關(guān)系的有 關(guān)概念． （ 2）理解設(shè)⊙ O 的半徑為 r，直線 L 到圓心 O 的距離為 d，則有： 直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和⊙ O 相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr． （ 3）理解切線的判定定理：理解切線的性質(zhì)定理并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問題． 復(fù)習(xí)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，引入直線和圓的位置關(guān)系，以直線和圓的位置關(guān)系中的 d=r? 直線和圓相切，講授切線的判定定理和性質(zhì)定理． 19 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：切線的判定定理；切線的性質(zhì)定理及其運(yùn)用它們解決一些具體的題目． 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵： 由上節(jié)課點(diǎn)和圓的位置關(guān)系遷移并運(yùn)動直線導(dǎo)出直線和圓的位置關(guān)系的三個對應(yīng)等價． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （老師口答，學(xué)生口答，老師并在黑板上板書）同學(xué)們，我們前一節(jié)課已經(jīng)學(xué)到點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．設(shè)⊙ O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離 OP=d， (a)rdPO (b)rdPO (c)rdPO 則有：點(diǎn) P 在圓外 ? dr，如圖（ a）所示； 點(diǎn) P 在圓上 ? d=r，如圖（ b）所示； 點(diǎn) P 在圓內(nèi) ? dr，如圖（ c）所示． 二、探索新知 前面我們講了點(diǎn)和圓有這樣的位置關(guān)系，如果這個點(diǎn) P 改為直線 L 呢？它是否和圓還有這三種的關(guān)系呢？ （學(xué)生活動）固定一個圓，把三角尺的邊緣運(yùn)動，如果把這個邊緣看成一條直線，那么這條直線和圓有幾種位置關(guān)系？ （老師口答，學(xué)生口答）直線和圓有三種位置關(guān)系：相交、相切和相離． （老師板書）如圖所示： ll( a ) ( b )相離相切相交( c )l 如圖（ a），直線 L 和圓有兩個公共點(diǎn)，這時我們就說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線． 20 .czsx . .BACD 如圖（ b），直線和圓有一個公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相切， 這條直線叫做圓的切線，這個點(diǎn)叫做切點(diǎn)． 如圖（ c），直線和圓沒有公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相離． 我們知道，點(diǎn)到直線 L 的距離是這點(diǎn)向直線作垂線，這點(diǎn)到垂足 D 的距離， 按照這個定義，作出圓心 O 到 L 的距離的三種情況？ （學(xué)生分組活動）：設(shè)⊙ O 的半徑為 r，圓心到直線 L 的距離為 d， 請模仿點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，總結(jié)出什么結(jié)論？ 老師點(diǎn)評直線 L 和⊙ O 相交 ? dr，如圖（ a）所示； ll( a ) ( b ) ( c )l 直線 L 和⊙ O 相切 ? d=r，如圖（ b）所示； 直線 L 和⊙ O 相離 ? dr，如圖（ c）所示． 因?yàn)?d=r?直線 L 和⊙ O 相切，這里的 d 是圓心 O 到直線 L 的距離，即垂直，并由 d=r 就可得到 L經(jīng)過半徑 r 的外端，即半徑 OA 的 A 點(diǎn)，因此，很明顯的， 我們可以得到切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． （學(xué)生分組討論）：根據(jù)上面的 判定定理，如果你要證明一條直線是⊙ O 的切線，你應(yīng)該如何證明？ （老師點(diǎn)評）：應(yīng)分為兩步：（ 1）說明這個點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，（ 2） 過這點(diǎn)的半徑垂直于直線． 例 1． 如圖，已知 Rt△ ABC 的斜邊 AB=8cm， AC=4cm． （ 1）以點(diǎn) C 為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長時，直線 AB 與⊙ C 相切？為什么？ （ 2）以點(diǎn) C 為圓心，分別以 2cm 和 4cm 為半徑作兩個圓，這兩個圓與直線 AB 分別有怎樣的位置關(guān)系？ 分析：（ 1）根據(jù)切線的判定定理可知，要使直線 AB 與⊙ C 相切， 那么這條半徑應(yīng)垂直于直線 AB，并且 C 點(diǎn)到垂足的長就是半徑，所以只要求出如圖所示的 CD 即可． （ 2）用 d 和 r 的關(guān)系進(jìn)行判定，或借助圖形進(jìn)行判定． 解：（ 1）如圖 2454：過 C 作 CD⊥ AB，垂足為 D． 在 Rt△ ABC 中 BC= 2284? = 3 21 BACDO ∴ CD= 4 3 48? =2 3 因此，當(dāng)半徑為 2 3 cm 時， AB 與⊙ C 相切． 理由是：直線 AB 為⊙ C 的半徑 CD 的外端并且 CD⊥ AB，所以 AB 是⊙ C 的切線． （ 2）由（ 1）可知，圓心 C 到直線 AB 的距離 d=2 3 cm，所以 當(dāng) r=2 時， dr，⊙ C 與直線 AB 相離； 當(dāng) r=4 時， dr，⊙ C 與直線 AB 相交． 剛才的判定定理也好，或者例 1 也好，都是不知道直線是切線，而判定切線，反之，如果知道這條直線是切線呢？有什么性質(zhì)定理呢？ 實(shí)際上，如圖， CD 是 切線， A 是切點(diǎn)，連結(jié) AO 與⊙ O 于 B，那么 AB 是對稱軸，所以沿 AB 對折圖形時， AC 與 AD 重合，因此，∠ BAC=∠ BAD=90176。 BD=10，求⊙ O 的半徑． 分析：（ 1）要說明 CD 是否是⊙ O 的切線，只要說明 OC 是否垂直于 CD，垂足為 C， 因?yàn)?C 點(diǎn)已在圓上． 由已知易得：∠ A=30176。得： BC=BD=10 解：（ 1） CD 與⊙ O 相切 理由：① C 點(diǎn)在⊙ O 上（已知） 22 ②∵ AB 是直徑 ∴∠ ACB=90176。 ∵∠ A=∠ OCA 且∠ DCB=∠ A ∴∠ OCA=∠ DCB ∴∠ OCD=90176。 ∴∠ COD=60176。 ∴∠ BCD=30176。OE=12 （ AD+BC） 又∵ TP 與 NP 分別為兩圓的切線， ∴∠ TPO=90176。 ∴∠ TPN=360176。 60176。 29 例 2． 如圖 1所示，⊙ O 的半徑為 7cm，點(diǎn) A為⊙ O外一點(diǎn)， OA=15cm， 求：（ 1）作⊙ A 與⊙ O 外切，并求⊙ A 的半徑是多少？ AO (1) (2) （ 2）作⊙ A 與⊙ O 相內(nèi)切，并求出此時⊙ A 的半徑． 分析：（ 1）作 ⊙ A 和 ⊙ O 外切，就是作以 A 為圓心的圓與 ⊙ O 的圓心距 d=rO+rA；（ 2） 作 OA 與⊙ O 相內(nèi)切，就是作以 A 為圓心的圓與⊙ O 的圓心距 d=rArO． 解：如圖 2 所示，（ 1）作法：以 A 為圓心， rA=157=8為半徑作圓，則⊙ A 的半徑為 8cm （ 2）作法：以 A 點(diǎn)為圓心， rA′ =15+7=22 為半徑作圓，則⊙ A 的半徑為 22cm 三、鞏固練習(xí) 教材 P109 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 3． 如圖 1 所示，半徑不等的 ⊙ O ⊙ O2外離，線段 O1O2分別交 ⊙ O ⊙ O2于點(diǎn) A、 B， MN 為兩圓的內(nèi)公切線，分別切 ⊙ O ⊙ O2于點(diǎn) M、 N，連結(jié) MA、 NB． （ 1）試判斷∠ AMN 與∠ BNM的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． （ 2）若將“ MN”為兩圓的內(nèi)公切線改為“ MN 為兩圓的外公切線”， 其余條件不變，∠ AMN 與∠ BNM是否一定滿足某種等量關(guān)系？完成下圖并寫出你的結(jié)論． (1) (2) 分析：（ 1）要說明∠ AMN 與∠ BNM 的數(shù)量關(guān)系，只要說明∠ MAB 和∠ NBA 的數(shù)量關(guān)系， 只要說明 ∠ O2BN和 ∠ O1AM 的數(shù)量關(guān)系，又因?yàn)?∠ O2BN=∠ O1NB， ∠ O1MA=∠ O1AM，因此，只要連結(jié) O1M， O2N，再說明 ∠ MO1A=∠ NO2B，這兩個角相等是顯然的． 30 （ 2）畫出圖形，從上題的解答我們可以 得到一個思路，連結(jié) O1M、 O2N， 則 ∠ O1MN+ ∠ O2NM=180176。 ∴∠ O2NB+∠ O1MA=90176。． 解：（ 1） ∠ AMN=∠ BNM 證明：連結(jié) O1M、 O2N，如圖 2 所示 ∵ MN 為兩圓的內(nèi)公切線， ∴ O1M⊥ MN， O2N⊥ MN ∴ O1M∥ O2N ∴∠ MO1A=∠ NO2B ∵ O1M=O1A， O2N=O2B ∴∠ O1MA=∠ O2NB ∴∠ AMN=∠ BNM （ 2） ∵∠ AMN+∠ BNM=90176。 ∵ O1M=O1A， O2N=O2B ∴∠ O1MA+∠ O2NB=12 180176。 ∴∠ AMN+∠ BNM=180176。 =90176。 △ OBC 是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑． 因此，所求的正六邊形的周長為 6a 在 Rt△ OAM 中 ， OA=a， AM=12 AB=12 a 利用勾股定理，可得邊心距 OM= 221()2aa?=12 3 a ∴所求正六邊形的面積 =6 12 AB OM=6 12 a 32 a=32 3 a2 現(xiàn)在我們利用正多邊形的概念和性質(zhì)來畫正多邊形． 例 2． 利用你手中的工具畫一個邊長為 3cm 的正五邊形． FDECBAOM 33 分析：要畫正五邊形，首先要畫一個圓，然后對圓五等分，因此， 應(yīng)該先求邊長為 3 的正五邊形的半徑． 解：正五邊形的中心角∠ AOB=3605? =72176。 OA=12 AB247。 =247?！?（