【正文】 ? 這意味著： ? 但： ，這顯然不可能 ? 因此： ? ?p v p m a: ( , ) ? ??12( , ) , ( , )v p m a v p m a ampvpttpp tt ???? ),()( 。為此需要證明對于所有 t0，有 : ? 由于 : ，它顯然等價于： ? 即： ? 性質 2得證。 , 間接效用函數(shù)及其性質 ? 間接效用函數(shù)的定義 ? 間接效用函數(shù)的性質 7 169。 其中的邏輯過程是：偏好關系 → 效用函數(shù) → 需求函數(shù) ， 本章將在這一邏輯框架下來分析消費者的最優(yōu)選擇問題 。 2 169。 ),( mpv nn RR ???nR, )pm),(pv ,m),(pv ,9 169。由于 , ，這里 中的 x是效用極大化時的 x，即 *()它是關于參數(shù) p和 m的函數(shù)。 ? 羅伊恒等式的證明：將等式 ()除以等式 ()可得證。 , B、均衡解與希克斯函數(shù) ? 構建支出最小化問題的拉格朗日函數(shù) ? 根據(jù)支出最小化一階條件： ? 根據(jù)（ ）和（ ）可得： （?？怂剐枨蠛瘮?shù)） ? 希克斯需求函數(shù)是一個關于價格和效用水平的函數(shù)，它刻畫了在既定價格和效用水平下，消費者實現(xiàn)支出最小化時對商品的需求量。 , 謝潑德引理的證明 ? 由支出函數(shù) 可知， 中的 x是最優(yōu)消費束，即 ，而 x*又是關于參數(shù) p和u的函數(shù)。 , B、恒等式 2： ? 恒等式 2說得是，價格為 p、效用水平為 u時的?？怂剐枨蠛瘮?shù)恰好等于價格為p、收入為 e()（即在價格為 p且效用為 u情況下的最小支出）時的馬歇爾需求函數(shù)。) [ , ) ]u x u u? ??( ( , ) ) ( 39。 39。 , D、恒等式 4 ： ? 恒等式 4說的是，價格為 p、收入為 e()（即在價格為 p且效用為 u情況下所支付的最小支出）時的最大效用恰好等于 u。 價格消費曲線、需求曲線；收入消費曲線、恩格爾曲線 價格變動的替代效應和收入效應 斯盧茨基方程 35 169。即：如果 f(x)[g(x)]，且 F’ (?)0， g(x)是一次齊次生產(chǎn)函數(shù)，則 f(x)即為位似函數(shù)。 , 斯盧茨基方程（ ） 價格變化的總效應表現(xiàn)為馬歇爾需求曲線上的需求量變化，而價格變動的替代效應表現(xiàn)為?？怂剐枨笄€上的需求量變化，因此我們可以利用馬歇爾需求曲線與?？怂剐枨笄€的這一關系來分解價格變化的替代效應和收入效應，斯盧茨基方程（ ）正是反映這一分解方法的數(shù)學工具。 , 斯盧茨基方程對需求法則的修正 ? 需求法則的古典命題（斯盧茨基方程的表述）： ? 但是上式并不總是成立，這意味著需求法則并不是對所有的商品都成立。 , 需求彈性的定義 ? 需求自身價格彈性 ? 需求收入彈性 ? 需求交叉價格彈性 52 169。它表明按收入份額加權的需求交叉價格彈（ ）之和正好等于商品 j的支出份額（ ）的負數(shù)。 05:14:0705:14:0705:14Friday, March 10, 2023 ? 1乍見翻疑夢，相悲各問年。 05:14:0705:14:0705:143/10/2023 5:14:07 AM ? 1成功就是日復一日那一點點小小努力的積累。 上午 5時 14分 7秒 上午 5時 14分 05:14: ? 楊柳散和風，青山澹吾慮。 2023年 3月 上午 5時 14分 :14March 10, 2023 ? 1業(yè)余生活要有意義，不要越軌。 05:14:0705:14:0705:14Friday, March 10, 2023 ? 1知人者智，自知者明。 2023年 3月 10日星期五 上午 5時 14分 7秒 05:14: ? 1楚塞三湘接，荊門九派通。 2023年 3月 上午 5時 14分 :14March 10, 2023 ? 1行動出成果，工作出財富。 謝 謝 :14:0705:1405::14 05:1405:14::14:07 2023年 3月 10日星期五 5時 14分 7秒 ? 靜夜四無鄰，荒居舊業(yè)貧。 , 一些彈性關系 ? 需求收入彈性（ ）與收入份額（ ）的關系：恩格爾加總規(guī)則 ? 需求交叉價格彈性（ ）與收入份額（ ）的關系：古諾加總規(guī)則 iη isijγ is56 169。 *( , ) ( , ) ( , )( , ) ( . )hi i iiiix p m x p u x p mx p m 0 2 15p p m? ? ?? ? ? ?? ? ?0p upxihi ??? ),(*m mpxmpx ii ???? ),(),( 0px ii ?? ),(, ( , )( , ) ii x p mx p m 0m?? ? ??2hip mpx ?? ),( m mpxpx ii ??? ),(),(49 169。 ? 斯盧茨基方程的證明：見附錄 ( , ) ( , * ) ( , )( , ) , , , ( . )hi i ijjjIETE SEx p m x p u x p mx p m i j 1 n 2 12p p m? ? ?? ? ? ?? ? ?46 169。那么在價格變動所導致的需求量總變動中，有多少是由替代效用所導致的，又有多少是由收入效應所導致的呢？這便是本節(jié)所要解決的問題。 , u x x12m in { , }?（ 3）偏好的、和 39 169。 , 圖 21：幾個恒等式的說明 x1 p1 x1(p,m)=x1h [p,v(p,m)]：恒等式 1 x1h(p,u)=x1[p,e(p,u)]： 恒等式 2 x1*=x1h(p,u)= x1h[p,v(p,m)]=x1(p,m) p1* u=v(p,m)=v[p,e(p,u)]： 恒等式 4 m/p2 x2 x1 x2* E [ , ( , ) ]11m e p v p mpp? ： 恒等式3x1*1() = x1h[()] 33 169。u x u x x px px mm in. . ( ) ?pxs t u x u30 169。39。 ? 假定上述效用最大化的解為 且，因此 ,由于 u是連續(xù)嚴格遞增函數(shù)，因此必然有一個 x’’滿足 ，因此有： ? （ 1）意味著消費束 x’’ 屬于支出最小化問題的可行集；（ 2）意味著購買 x’’的支出要小于購買 x’的支出，這意味著 不是支出最小化問題的解的結論，這與假設矛盾，因此恒等式 2得證。 幾個重要恒等式 對偶原理的圖示 26 169。 , B、支出函數(shù)的性質 如果直接效用函數(shù) u(x)在上是連續(xù)且嚴格遞增的 ， 那么支出效用函數(shù) e()就一定具有以下幾個性質：