【正文】 p ,u )] )],(,[),( upepxup ihi ? ),(min),()(..minupepxupxxuxutspxhh????uupepvxuupepxxupepxtsxuu??????)),(,()(max)),(,(**),(..)(max?32 169。所以一定有： mmpvpe ?)],(,[ )],(,[),( mpvpxmpx hii ?ix ( p,m)hix [ ,v( p ,m )]i( p,m)hix [ p ,v( p ,m )]e( , ) mmvpe ?)],(,[ ),(max),(**..)(maxmpvumpxxmpxtsxuu?????mmpvpepxmpvpxxmpvutspxhh?????)),(,(min)),(,(),(..min?31 169。 39。39。)hx p u u x u x( , )hx p um a x ( ). . ( , )????????u u xs t px e p u? ? ? ? ?( 1 ) ( 39。 ( , )hx x x p u?且( 39。 ? 恒等式 2的證明： 設(shè) 是最小支出問題 的解，即 將這樣定義的支出水平置換到最大效用問題的約束條件中，只需證明 仍然是最大效用問題 的解即可。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(max),(..)(maxmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..minmpvxxmpvutspxhh ??? ( , ) ( , ( , ) )hx p m x p v p m??28 169。本節(jié)我們將給出與這一對(duì)偶問題相關(guān)的幾個(gè)重要的恒等式，以便將間接效用函數(shù)、支出效用函數(shù)、馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)有機(jī)地聯(lián)系起來。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 11p? ????24 169。 , A、支出函數(shù)的定義 ? 將支出最小化問題的解代如其目標(biāo)函數(shù)而得到的函數(shù)即為支出函數(shù)，記為 e(): ),(),( upxpupeh?? ( , ) m in . : ( ) ( . )n 0xRe p u p x s t u x u 2 10?? ? ?＋即： ，22 169。 , A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19 169。 , 消費(fèi)者最優(yōu)選擇：支出最小化問題 上一節(jié)討論的是消費(fèi)者在既定的收入約束下如何選擇商品，以使自己獲得最大的效用。 , 羅伊恒等式（ ’s ） ? 羅伊恒等式是說：若間接效用函數(shù) v()已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)其可以直接推導(dǎo)出馬歇爾需求函數(shù) x()， 即： ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關(guān)系。 , 證明性質(zhì) 4： ? 即要證明 。 , 證明性質(zhì) 3： ? 即要證明 。 10 169。 , B、間接效用函數(shù)的性質(zhì) 如果直接效用函數(shù)在上是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的 ， 那么間接效用函數(shù)就一定具有以下幾個(gè)性質(zhì)： 性質(zhì) 1： 在 上是連續(xù)的 [1]； 性質(zhì) 2： 是關(guān)于 的零次齊次函數(shù)； 性質(zhì) 3： 是關(guān)于 m的嚴(yán)格遞增函數(shù)； 性質(zhì) 4： 是關(guān)于 p的嚴(yán)格遞減函數(shù) 性質(zhì) 5： 對(duì)價(jià)格 p是擬凸 性質(zhì) 6： 滿足羅伊恒等式 （ ’ s ） [1] 表示預(yù)算集的定義域 ， 其中：表示價(jià)格的定義域 ， 下標(biāo)“ ＋＋ ” 是指嚴(yán)格為正 ， 沒有一維價(jià)格為 0， n表示有 n維價(jià)格； 表示收入的定義域 ， 收入可以為 0。 , A、效用極大化問題的基本形式 . ( . )m a x ( )????nxRs t p x m 2 1ux5 169。 通過本章的學(xué)習(xí) ， 你可以了解： 消費(fèi)者效用極大化問題； 消費(fèi)者支出極小化問題： 對(duì)偶原理； 需求的比較靜態(tài)分析； 需求彈性 。1 169。 消費(fèi)者最優(yōu)選擇問題可以歸結(jié)為消費(fèi)者在既定收入約束條件下的效用極大化問題或?yàn)榧榷ㄐв盟较碌闹С鰳O小化問題 ， 這兩個(gè)問題互為對(duì)偶問題 ， 對(duì)前一問題的求解所得到的需求函數(shù)為馬歇爾需求函數(shù) ， 而通過對(duì)后一個(gè)問題的求解所得到的需求函數(shù)為?？怂剐枨蠛瘮?shù) 。 , 效用最大問題與馬歇爾需求函數(shù) ? 效用最大化問題的基本形式 ? 效用最大化問題的均衡解 ? 馬歇爾需求函數(shù) 4 169。 , A、間接效用函數(shù)的定義 ? 效用最大化問題的目標(biāo)函數(shù) 直接表明了效用與消費(fèi)量之間的關(guān)系，因此又被稱為直接效用函數(shù)，根據(jù)直接效用函數(shù)和預(yù)算約束所得到的最優(yōu)解 反映了在不同價(jià)格和收入水平下消費(fèi)者對(duì)商品的需求，將效用最大化的最優(yōu)解帶入直接效用函數(shù)所得到的函數(shù)被定義為間接效用函數(shù)，記為： ，即： )(xuu ? ),( mpx? )],(*[),( mpxumpv ?( , ) m a x ( * ) ( . ).:?????nxRv p m u x 2 2s t p x m8 169。這是很自然的，因?yàn)槿绻?u(x)是連續(xù)的，那么其極大化了的值也是連續(xù)的。 ),(),(),( mpvmpvttmtpv 0 ?? ( , ) [ m a x ( ) , . : ]????nxRv tp tm u x s t tpx tm[ m a x ( ) , . : ]????nxRu x s t p x m( , ) [ a x ( ) , . : ] ( , )??? ? ? ?nxRv tp tm u x s t p x m v p m11 169。 0mmpv ??? ),( ( , ) m a x ( ) , . :????nxRv p m u x s t px mnRx xu?? )(maxm a x ( ) , . :???nxRu x s t px m )()( pxmxuL ??? ?* ( , )( , ) ( , ) ( . )x x p mv p m L x λ λ 2 3mm ??? ???? 0px xuxxL iii ???????? ?? )(),(0pi ? 0xxu i ??? )(0?? 0m mpv ???? ?),(12 169。我們只要證明：令 21 1? ?? ?? ???????1122:::ttB x p x mB x p x mB x p x m?tB B B 12? ? ?,tx B x B x B但 121? ? ? ?()tp x tp x t p x m12??,p x m p x m112212111? ? ?