【正文】 優(yōu)消費束隨著價格和收入變動而變動的軌跡。 , 對偶原理的圖示 圖 2－ 3 對偶原理的流程圖 解出反函數(shù) u 馬歇爾需求函數(shù) x(p,m) ?？怂剐枨蠛瘮?shù) 代入目標(biāo)函數(shù) 羅伊恒等式 代入目標(biāo)函數(shù) 謝潑德引理 支出函數(shù) e(p,u) 解出反函數(shù) m 間接效用函數(shù) v(p,m) ( , )hx pu代入 m=e(p,u) mxptsxu??..)(maxuxuts xp ??)(..min34 169。所以一定有： ? 一個例題：見例 uupepv ?)],(,[ )],(,[),( upepxupxihi ?hix ( p,u )ix [ p ,e( p ,u )]iix [ p ,e( p ,u )]v [ p ,e( p ,u )] )],(,[),( upepxup ihi ? ),(min),()(..minupepxupxxuxutspxhh????uupepvxuupepxxupepxtsxuu??????)),(,()(max)),(,(**),(..)(max?32 169。 ? 證明：根據(jù)恒等式 2： ，這說明 和 屬于同一個消費束，因此它們對應(yīng)的效用水平是相同的。所以一定有： mmpvpe ?)],(,[ )],(,[),( mpvpxmpx hii ?ix ( p,m)hix [ ,v( p ,m )]i( p,m)hix [ p ,v( p ,m )]e( , ) mmvpe ?)],(,[ ),(max),(**..)(maxmpvumpxxmpxtsxuu?????mmpvpepxmpvpxxmpvutspxhh?????)),(,(min)),(,(),(..min?31 169。 , C、恒等式 3 ： ? 恒等式 3說的是，價格為 p、效用水平為 v()（即在價格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時的最小支出恰好等于 m； ? 證明：根據(jù)恒等式 1： ，這說明 和 屬于同一個消費束，因此它們對應(yīng)的收入（支出）水平是相同的。 39。 39。39。 ) 。)hx p u u x u x( , )hx p um a x ( ). . ( , )????????u u xs t px e p u? ? ? ? ?( 1 ) ( 39。39。 ( , )hx x x p u?且( 39。 )],(,[),( upepxupx ihi ?( , )hx u ( , ) ( , )hm px p u e p u??( , )hx p u39。 ? 恒等式 2的證明： 設(shè) 是最小支出問題 的解，即 將這樣定義的支出水平置換到最大效用問題的約束條件中，只需證明 仍然是最大效用問題 的解即可。 )],(,[),( upepxupx ihi ? ),(min),()(..minupepxupxxuxutspxhh????)),(,(),(..)(maxupepxxupepxtsxu??? ( , ) ( , ( , ) )hx p u x p e p u??29 169。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(max),(..)(maxmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..minmpvxxmpvutspxhh ??? ( , ) ( , ( , ) )hx p m x p v p m??28 169。 , 幾個重要恒等式 如果效用函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)和連續(xù)的，且消費者效用極大化和支出最小化問題均有解，則我們可以發(fā)現(xiàn)下面四個恒等關(guān)系式： 恒等式 1： 恒等式 2： 恒等式 3： 恒等式 4： )],(,[),( mpvpxmpx hii ? )],(,[),( upepxup ihi ? mmpvpe ?)],(,[ uupepv ?)],(,[馬歇爾需求函數(shù) 與?？怂剐枨蠛瘮?shù)的對偶關(guān)系 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)的對偶關(guān)系 27 169。本節(jié)我們將給出與這一對偶問題相關(guān)的幾個重要的恒等式，以便將間接效用函數(shù)、支出效用函數(shù)、馬歇爾需求函數(shù)和希克斯需求函數(shù)有機地聯(lián)系起來。根據(jù)包絡(luò)定理，對 e()求 的導(dǎo)數(shù)，只要對支出函數(shù) 的拉格朗日函數(shù)求關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)即可： ? 一個例子：見例 ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋，nRxxp???min ),( upxxx hii ?? ?ip ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋ ，i ),(*),(),( upxxpxLpupe hiiii??????? ?25 169。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 11p? ????24 169。 23 169。 , A、支出函數(shù)的定義 ? 將支出最小化問題的解代如其目標(biāo)函數(shù)而得到的函數(shù)即為支出函數(shù)，記為 e(): ),(),( upxpupeh?? ( , ) m in . : ( ) ( . )n 0xRe p u p x s t u x u 2 10?? ? ?＋即： ，22 169。 [ ( ) ] ( . )0L p x λ u x u 2 7? ? ? ? () , , ( . )i i iiiL u xp λ p λ u 0 i 1 n 2 8xx??? ? ? ? ? ?[ ( , ) ] ( . )1 2 0L u x x u 0 2 9λ? ? ? ? ??* * ( , )x x p u?20 169。 , A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19 169。 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) 支出函數(shù)及其性質(zhì) ?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)的關(guān)系：謝潑德引理 17 169。 , 消費者最優(yōu)選擇：支出最小化問題 上一節(jié)討論的是消費者在既定的收入約束下如何選擇商品，以使自己獲得最大的效用。 ? 一個例子：見例題 ( , )( , )( , )iiv p m px p mv p m m??????15 169。 , 羅伊恒等式（ ’s ） ? 羅伊恒等式是說：若間接效用函數(shù) v()已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)其可以直接推導(dǎo)出馬歇爾需求函數(shù) x()， 即： ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關(guān)系