【正文】 1 169。 , 第 2章 消費(fèi)者最優(yōu)選擇和需求分析 上一章根據(jù)消費(fèi)者的偏好結(jié)構(gòu)建立了效用函數(shù) ， 利用效用函數(shù)可以刻畫消費(fèi)者在既定收入約束下的最優(yōu)選擇行為 ， 并從中推導(dǎo)出消費(fèi)對商品的需求函數(shù) 。 其中的邏輯過程是：偏好關(guān)系 → 效用函數(shù) → 需求函數(shù) ， 本章將在這一邏輯框架下來分析消費(fèi)者的最優(yōu)選擇問題 。 消費(fèi)者最優(yōu)選擇問題可以歸結(jié)為消費(fèi)者在既定收入約束條件下的效用極大化問題或?yàn)榧榷ㄐв盟较碌闹С鰳O小化問題 ， 這兩個問題互為對偶問題 ， 對前一問題的求解所得到的需求函數(shù)為馬歇爾需求函數(shù) ， 而通過對后一個問題的求解所得到的需求函數(shù)為希克斯需求函數(shù) 。 通過本章的學(xué)習(xí) ， 你可以了解： 消費(fèi)者效用極大化問題； 消費(fèi)者支出極小化問題： 對偶原理； 需求的比較靜態(tài)分析； 需求彈性 。 2 169。 , 消費(fèi)者的最優(yōu)選擇：效用極大化問題 ? 效用最大問題與馬歇爾需求函數(shù) ? 間接效用函數(shù)及其性質(zhì) ? 馬歇爾需求函數(shù)與間接效用函數(shù)的關(guān)系：羅伊恒等式 3 2023/3/10 169。 , 效用最大問題與馬歇爾需求函數(shù) ? 效用最大化問題的基本形式 ? 效用最大化問題的均衡解 ? 馬歇爾需求函數(shù) 4 169。 , A、效用極大化問題的基本形式 . ( . )m a x ( )????nxRs t p x m 2 1ux5 169。 , B、均衡解與馬歇爾需求函數(shù) ? 瓦爾拉斯法則：最優(yōu)解總是把錢化光，即 p*? ? 這與 x*是最優(yōu)解矛盾 ? 均衡解的充要條件：如果 u(x)具有良好性質(zhì)，即 u(x)可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日函數(shù)： ? 一個例子（見：例 ） * , , ( * )( *) ( * )? ? ? ? ???p x m Δ x 0 p x Δ x mu x u x Δx若令則 L ( x, ) = u ( x) ( px m )λλ ()? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?iiL x u x x λ p 0L λ p x m 0* * ( , )x x p y?（馬歇爾需求函數(shù)） 6 169。 , 間接效用函數(shù)及其性質(zhì) ? 間接效用函數(shù)的定義 ? 間接效用函數(shù)的性質(zhì) 7 169。 , A、間接效用函數(shù)的定義 ? 效用最大化問題的目標(biāo)函數(shù) 直接表明了效用與消費(fèi)量之間的關(guān)系，因此又被稱為直接效用函數(shù)，根據(jù)直接效用函數(shù)和預(yù)算約束所得到的最優(yōu)解 反映了在不同價格和收入水平下消費(fèi)者對商品的需求，將效用最大化的最優(yōu)解帶入直接效用函數(shù)所得到的函數(shù)被定義為間接效用函數(shù)，記為： ，即： )(xuu ? ),( mpx? )],(*[),( mpxumpv ?( , ) m a x ( * ) ( . ).:?????nxRv p m u x 2 2s t p x m8 169。 , B、間接效用函數(shù)的性質(zhì) 如果直接效用函數(shù)在上是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的 ， 那么間接效用函數(shù)就一定具有以下幾個性質(zhì)： 性質(zhì) 1： 在 上是連續(xù)的 [1]； 性質(zhì) 2： 是關(guān)于 的零次齊次函數(shù)； 性質(zhì) 3： 是關(guān)于 m的嚴(yán)格遞增函數(shù)； 性質(zhì) 4： 是關(guān)于 p的嚴(yán)格遞減函數(shù) 性質(zhì) 5： 對價格 p是擬凸 性質(zhì) 6： 滿足羅伊恒等式 （ ’ s ） [1] 表示預(yù)算集的定義域 ， 其中：表示價格的定義域 ， 下標(biāo)“ ＋＋ ” 是指嚴(yán)格為正 ， 沒有一維價格為 0， n表示有 n維價格； 表示收入的定義域 ， 收入可以為 0。 ),( mpv nn RR ???nR, )pm),(pv ,m),(pv ,9 169。 , 證明性質(zhì) 1： ? 性質(zhì) 1是說，當(dāng)收入與價格發(fā)生微量的變化時，極大化了的效用也會發(fā)生微量的變化。這是很自然的，因?yàn)槿绻?u(x)是連續(xù)的，那么其極大化了的值也是連續(xù)的。 10 169。 , 證明性質(zhì) 2： ? 性 2質(zhì)是說，當(dāng)價格和收入同比率變動時，效用不會發(fā)生變動。為此需要證明對于所有 t0，有 : ? 由于 : ，它顯然等價于： ? 即： ? 性質(zhì) 2得證。 ),(),(),( mpvmpvttmtpv 0 ?? ( , ) [ m a x ( ) , . : ]????nxRv tp tm u x s t tpx tm[ m a x ( ) , . : ]????nxRu x s t p x m( , ) [ a x ( ) , . : ] ( , )??? ? ? ?nxRv tp tm u x s t p x m v p m11 169。 , 證明性質(zhì) 3： ? 即要證明 。由于 , ，這里 中的 x是效用極大化時的 x，即 *()它是關(guān)于參數(shù) p和 m的函數(shù)。按照包絡(luò)定理 ( ，詳細(xì)內(nèi)容見附錄 ) ，對 ()關(guān)于 m的偏導(dǎo)，只要對 的拉格朗日函數(shù) 求關(guān)于 m的導(dǎo)數(shù)即可： ? 由于 （ 1,2,… ），又由于 ， ,則必有 ,因此： 即性質(zhì) 3得證。 0mmpv ??? ),( ( , ) m a x ( ) , . :????nxRv p m u x s t px mnRx xu?? )(maxm a x ( ) , . :???nxRu x s t px m )()( pxmxuL ??? ?* ( , )( , ) ( , ) ( . )x x p mv p m L x λ λ 2 3mm ??? ???? 0px xuxxL iii ???????? ?? )(),(0pi ? 0xxu i ??? )(0?? 0m mpv ???? ?),(12 169。 , 證明性質(zhì) 4： ? 即要證明 。用與證明性質(zhì) 3相同的方法，可得： ? 由于： ， ，因此： ? 即性質(zhì) 4得證 0p mpvi??? ),(* ( , )( , ) ( , ) ( . )iii x x p mv p m L x λ λ x 2 4pp ??? ? ? ? ???0?? 0xi ?0xp mpv ii?????? ?),(13 169。 , 性質(zhì) 5的證明： ? 即要證明，對于所有的 a， 是一個凸集 ? 假設(shè) p1和 p2滿足 ? 定義預(yù)算集： ? ? 可以斷言： ，若不然，存在某個 x： ? 這意味著： ? 但： ，這顯然不可能 ? 因此： ? ?p v p m a: ( ,