【正文】 ，這里 中的 x是效用極大化時(shí)的 x，即 *()它是關(guān)于參數(shù) p和 m的函數(shù)。 , 證明性質(zhì) 2： ? 性 2質(zhì)是說，當(dāng)價(jià)格和收入同比率變動(dòng)時(shí)，效用不會(huì)發(fā)生變動(dòng)。 ),( mpv nn RR ???nR, )pm),(pv ,m),(pv ,9 169。 , B、均衡解與馬歇爾需求函數(shù) ? 瓦爾拉斯法則：最優(yōu)解總是把錢化光，即 p*? ? 這與 x*是最優(yōu)解矛盾 ? 均衡解的充要條件：如果 u(x)具有良好性質(zhì)，即 u(x)可導(dǎo)，則根據(jù)拉格朗日函數(shù)： ? 一個(gè)例子（見：例 ） * , , ( * )( *) ( * )? ? ? ? ???p x m Δ x 0 p x Δ x mu x u x Δx若令則 L ( x, ) = u ( x) ( px m )λλ ()? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?iiL x u x x λ p 0L λ p x m 0* * ( , )x x p y?（馬歇爾需求函數(shù)） 6 169。 2 169。 , 第 2章 消費(fèi)者最優(yōu)選擇和需求分析 上一章根據(jù)消費(fèi)者的偏好結(jié)構(gòu)建立了效用函數(shù) ， 利用效用函數(shù)可以刻畫消費(fèi)者在既定收入約束下的最優(yōu)選擇行為 ， 并從中推導(dǎo)出消費(fèi)對(duì)商品的需求函數(shù) 。 其中的邏輯過程是：偏好關(guān)系 → 效用函數(shù) → 需求函數(shù) ， 本章將在這一邏輯框架下來分析消費(fèi)者的最優(yōu)選擇問題 。 , 消費(fèi)者的最優(yōu)選擇：效用極大化問題 ? 效用最大問題與馬歇爾需求函數(shù) ? 間接效用函數(shù)及其性質(zhì) ? 馬歇爾需求函數(shù)與間接效用函數(shù)的關(guān)系：羅伊恒等式 3 2023/3/10 169。 , 間接效用函數(shù)及其性質(zhì) ? 間接效用函數(shù)的定義 ? 間接效用函數(shù)的性質(zhì) 7 169。 , 證明性質(zhì) 1： ? 性質(zhì) 1是說，當(dāng)收入與價(jià)格發(fā)生微量的變化時(shí)，極大化了的效用也會(huì)發(fā)生微量的變化。為此需要證明對(duì)于所有 t0，有 : ? 由于 : ，它顯然等價(jià)于： ? 即： ? 性質(zhì) 2得證。按照包絡(luò)定理 ( ，詳細(xì)內(nèi)容見附錄 ) ，對(duì) ()關(guān)于 m的偏導(dǎo)，只要對(duì) 的拉格朗日函數(shù) 求關(guān)于 m的導(dǎo)數(shù)即可： ? 由于 （ 1,2,… ），又由于 ， ,則必有 ,因此： 即性質(zhì) 3得證。 , 性質(zhì) 5的證明： ? 即要證明，對(duì)于所有的 a， 是一個(gè)凸集 ? 假設(shè) p1和 p2滿足 ? 定義預(yù)算集： ? ? 可以斷言： ，若不然，存在某個(gè) x： ? 這意味著： ? 但： ，這顯然不可能 ? 因此： ? ?p v p m a: ( , ) ? ??12( , ) , ( , )v p m a v p m a ampvpttpp tt ???? ),()( 。 ? 一個(gè)例子：見例題 ( , )( , )( , )iiv p m px p mv p m m??????15 169。 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) 支出函數(shù)及其性質(zhì) ?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)的關(guān)系：謝潑德引理 17 169。 [ ( ) ] ( . )0L p x λ u x u 2 7? ? ? ? () , , ( . )i i iiiL u xp λ p λ u 0 i 1 n 2 8xx??? ? ? ? ? ?[ ( , ) ] ( . )1 2 0L u x x u 0 2 9λ? ? ? ? ??* * ( , )x x p u?20 169。 23 169。根據(jù)包絡(luò)定理，對(duì) e()求 的導(dǎo)數(shù)，只要對(duì)支出函數(shù) 的拉格朗日函數(shù)求關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)即可： ? 一個(gè)例子：見例 ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋，nRxxp???min ),( upxxx hii ?? ?ip ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋ ，i ),(*),(),( upxxpxLpupe hiiii??????? ?25 169。 , 幾個(gè)重要恒等式 如果效用函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)和連續(xù)的，且消費(fèi)者效用極大化和支出最小化問題均有解，則我們可以發(fā)現(xiàn)下面四個(gè)恒等關(guān)系式： 恒等式 1： 恒等式 2： 恒等式 3： 恒等式 4： )],(,[),( mpvpxmpx hii ? )],(,[),( upepxup ihi ? mmpvpe ?)],(,[ uupepv ?)],(,[馬歇爾需求函數(shù) 與希克斯需求函數(shù)的對(duì)偶關(guān)系 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)的對(duì)偶關(guān)系 27 169。 )],(,[),( upepxupx ihi ? ),(min),()(..minupepxupxxuxutspxhh????)),(,(),(..)(maxupepxxupepxtsxu??? ( , ) ( , ( , ) )hx p u x p e p u??29 169。 )],(,[),( upepxupx ihi ?( , )hx u ( , ) ( , )hm px p u e p u??( , )hx p u39。39。 ) 。 39。 , C、恒等式 3 ： ? 恒等式 3說的是，價(jià)格為 p、效用水平為 v()（即在價(jià)格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時(shí)的最小支出恰好等于 m； ? 證明：根據(jù)恒等式 1： ，這說明 和 屬于同一個(gè)消費(fèi)束，因此它們對(duì)應(yīng)的收入（支出）水平是相同的。 ? 證明：根據(jù)恒等式 2： ，這說明 和 屬于同一個(gè)消費(fèi)束，因此它們對(duì)應(yīng)的效用水平是相同的。 , 對(duì)偶原理的圖示 圖 2－ 3 對(duì)偶原理的流程圖 解出反函數(shù) u 馬歇爾需求函數(shù) x(p,m) ?？怂剐枨蠛瘮?shù) 代入目標(biāo)函數(shù) 羅伊恒等式 代入目標(biāo)函數(shù) 謝潑德引理 支出函數(shù) e(p,u) 解出反函數(shù) m 間接效用函數(shù) v(p,m) ( , )hx pu代入 m=e(p,u) mxptsxu??..)(maxuxuts xp ??)(..min34 169。 , 價(jià)格消費(fèi)曲線 ()和需求曲線 () 收入消費(fèi)曲線 ()和恩格爾曲線 () x2 x1 DC x1 P 圖 23 一般品的 PCC和 DC PCC x2 x1 EC x1 m 圖 23 正常品的 ICC和 EC