【正文】 向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？ ? 怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？ ? 為什么用特征向量作為權向量？ ? 當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？ 福 州 大 學 22 1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質 定理 1 正矩陣 A 的 最大特征根 ?是正單根，對應正特征向量 w，且 TkTkkeweAe eA )1,1,1(,l i m ?????定理 2 n階 正互反陣 A的最大特征根 ? ? n , ?= n是 A為一致陣的充要條件。 定義一致性比率 CR = CI/RI 當 CR，通過一致性檢驗 Saaty的結果如下 福 州 大 學 11 “ 選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗 ?????????????????1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準則層對目標的 成對比較陣 最大特征根 ?= 權向量 (特征向量 )w =(,)T ?? ??CI一致性指標 隨機一致性指標 RI= (查表 ) 一致性比率 CR= 通過一致性檢驗 福 州 大 學 12 組合權向量 記第 2層（準則）對第 1層（目標）的權向量為 Tn ),()2()2(1)2( ??同樣求第 3層 (方案 )對第 2層每一元素 (準則 )的權向量 ???????????12/15/1212/15211B方案層對 C1(景色 )的成對比較陣 ???????????1383/1138/13/112B方案層對 C2(費用 )的成對比較陣 …C n …B n 最大特征根 ?1 ?2 … ?n 權向量 w1(3) w2(3) … wn(3) 福 州 大 學 13 第 3層對第 2層的計算結果 k )3(kwk?kCI1 0 0 2 3 3 4 3 5 組合權向量 RI= (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗 w(2) 方案 P1對目標的組合權重為 ?+ …= 方案層對目標的組合權向量為 (, , )T 福 州 大 學 14 Tn ),()2()2(1)2( ??)2()3()3( wWw ?組合 權向量 第 1層 O 第 層 C1,…C n 第 3層 P1, …P m nk Tkmkk ,2,1,),( )3()3( 1)3( ?? ??第 2層對第 1層的權向量 第 3層對第 2層各元素的權向量 ],[ )3()3(1)3( nwwW ??構造矩陣 則第 3層對第 1層的組合權向量 )2()3()1()()( wWWWw sss ???第 s層對第 1層的組合權向量 其中 W(p)是由第 p層對第p1層權向量組成的矩陣 福 州 大 學 15 層次分析法的基本步驟 1）建立層次分析結構模型 深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標 —準則或指標 —方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。 ? 通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。 4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗 *） 組合權向量可作為決策的定量依據。 和法 ——取列向量的算術平均 ???????????14/16/1412/1621A例??????????w??????????????????????Aw ) (31 ?????列向量歸一化 算術平均 wAw ??精確結果 :w=(,)T, ?= 福 州 大 學 24 根法 ——取列向量的幾何平均 冪法 ——迭代算法 1）任取初始向量 w(0), k:=0，設置精度 ? )()1(~ kk Aww ??2) 計算 ????? ?nikikk 1)1()1()1( ~/~3）歸一化 ????nikikiwwn 1 )()1(~1?5) 計算 簡化計算 4）若 ，停止；否則， k:=k+1, 轉 2 ???? )()1(m a x kikii ww福 州 大 學 25 3. 特征向量作為權向量 ——成對比較的多步累積效應 問題 一致陣 A, 權向量 w=(w1,…w n)T, aij=wi/wj A不一致 , 應選權向量 w使 wi/wj與 aij相差盡量?。▽λ?i,j)。 ? 根據比賽結果排出各隊名次 方法 1： 尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑。 問三人合作時如何分配獲利？ 記甲乙丙三人分配為 ),( 321 xxxx ?解不唯一 (5， 3， 3) (4， 4， 3) (5， 4， 2) …… 1,321 ?xxx福 州 大 學 49 )(1Ivxnii ???niivx i ,2,1),( ?????????212121 ),()()(0)(sssvsvssvv??},2,1{ nI ??集合 (1) Shapley合作對策 滿足實函數，子集 )( svIs ???[ I,v] ~n人合作對策， v~特征函數 ),( 21 nxxxx ?? ~n人從 v(I)得到的分配，滿足 v(s)~ 子集s的獲利 福 州 大 學 50 !)!1()!()(nssnsw ???niisvsvswxiSsi ?,2,1) ] ,\()()[( ??? ??公理化方法 ?s?~子集 s中的元素數目， Si ~包含 i的所有子集 )( sw ~由 ?s?決定的“貢獻”的權重 Shapley值 )]\()([ isvsv ? ~ i 對合作 s 的“貢獻” )( si?Shapley合作對策 福 州 大 學 51 三人 (I={1,2,3})經商中甲的分配 x1的計算 1/3 1/6 1/6 1/3 )]1\()()[( svsvsw ?)( sws)1\()( svsv ?)1\(sv)(sv1S 1 1 2 1 3 I ? ?1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3 x1=13/3 類似可得 x2=23/6, x3=17/6 )]1\()()[(11 svsvswxSs?? ??1 2 2 3 福 州 大 學 52 合作對策的應用 例 1 污水處理費用的合理分擔 20km 38km 河流 三城鎮(zhèn)地理位置示意圖 1 2 3 ? 污水處理，排入河流 ?三城鎮(zhèn)可單獨建處理廠，或聯合建廠 (用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn) ) Q1=5 Q3=5 Q2=3 Q~污水量， L~管道長度 建廠費用 P1= 管道費用 P2= 福 州 大 學 53 230)3(,160)2(,230573)1( ????? CCC)35(73)2,1( ???????C)53(73)3,2( ???????C)55(73)3,1( ???????C460)3()1( ??? CC污水處理的 5 種方案 1）單獨建廠 620)3()2()1(1 ???? CCCD總投資 2） 1, 2合作 3） 2, 3合作 4） 1, 3合作 580)3()2,1(2 ??? CCD總 投資 595)3,2()1(3 ??? CCD總投資 合作不會實現 福 州 大 學 54 55638)35()535(73)3,2,1(5???????????? CD5）三城合作總投資 D5最小 , 應聯合建廠 建廠費： d1=73?(5+3+5)=453 1?2管道費： d2= ? ?20=30 2?3管道費： d3= ?(5+3) ?38=73 D5 ?城 3建議： d1 按 5:3:5分擔 , d2,d3由城 1,2擔負 城 2建議： d3由城 1,2按 5:3分擔 , d2由城 1擔負 城 1計算： 城 3分擔 d1?5/13=174C(3), 城 2分擔 d1?3/13+d3 ?3/8 =132C(2), 城 1分 擔 d1?5/13+d3 ?5/8+ d2 =250C(1) 不同意 D5如何分擔？ 2 3 0)3(1 6 0)2(2 3 0)1(???CCC福 州 大 學 55 0)3()2()1(,0)( ???? vvvv ?}3,2,1{?I集合特征函數 v(s)~聯合 (集 s)建廠比單獨建廠節(jié)約的投資 ),( 321 xxxx ? ~三 城從 節(jié)約投資 v(I)中得到的分配 4035 016 023 0)2,1()2()1()21( ??????? CCCv ?64556230160230)3,2,1()3()2()1()(0)31(25365230160)3,2()3()2()32(?????????????????CCCCIvvCCCv?? Shapley合作對策 福 州 大 學 56 計算 城 1從 節(jié)約投資中得到的分配 x1 )]1\()()[( svsvsw ?)( sws)1\()( svsv ?)1\(sv)(svs 1 1 2 1 3 I ? ?0 40 0 64 0 0 0 25 0 40 0 39 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 0 13 x1 =, 城 1 C(1)x1=, 城 2 C(2)x2=, 城 3 C(3)x3= 三城在總投資 556中的分擔 x2 =, x3= x2最大，如何