【正文】 j+1年 endl。 B[85]=。 B[77]=。 B[69]=。 B[61]=。 B[53]=。 B[45]=。 B[37]=。 B[29]=。 B[21]=。 B[13]=。 B[5]=。 int i,j。 for k=0:19, x2(k+1)=(x0(1)b/a)*exp(a*k)+b/a。 D=x1(n)x1(1)。 九 、 參考文獻 [1] 姜啟源 ,謝金星 ,葉俊 .數(shù)學(xué)模型 (第三版 ).高等教育出版社 ..2020. [2] 宋兆基 ,徐流美等 .MATLAB在科學(xué)計算中的應(yīng)用 .清華大學(xué)出版社 .2020. [3] 蔡建瓊等 .SPSS統(tǒng)計分析實例精選 .清華大學(xué)出版社 .2020. [4] 徐國翔 .統(tǒng)計預(yù)測和決策 .上海財經(jīng)大學(xué)出版社 .2020. [5] 陳彥光 ,余斌 .人口增長的常用數(shù)學(xué)模型及其預(yù)測方法 .華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） .2020:40,. [6] 鄧聚龍 .灰 色系統(tǒng)基本方法 .華中科技 大學(xué)出版社 .2020. [7] 易丹輝 .數(shù)據(jù)分析與 Eviews應(yīng)用 .中國統(tǒng)計出版社 .2020. [8] 宋健等 .人口預(yù)測和人口控制 .人民出版社 .1980. 十 、 附錄 附錄清單 附錄 一： 數(shù)據(jù)的預(yù)處理 結(jié)果 ； 附錄 二： 程序 1_利用 Matlab 軟件求解灰色預(yù)測模型 GM(1， 1)程序 ； 附錄 三： 程序 2_利用 C++軟件求解人口長期預(yù)測模型（偏微分方程數(shù)值解）程序 ； 附錄 四 ： 人口基數(shù)數(shù)據(jù)表及預(yù)測數(shù)據(jù)表 附錄 一： 數(shù)據(jù)的預(yù)處理結(jié)果 出生率數(shù)據(jù)預(yù)處理 年份 市 人口出生率 鎮(zhèn)人口出生率 鄉(xiāng)人口出生率 總?cè)丝诔錾? 2020 2020 24 2020 2020 2020 死亡率數(shù)據(jù)預(yù)處理 年份 市 人口死亡率 鎮(zhèn)人口死亡率 鄉(xiāng)人口死亡率 總?cè)丝谒劳雎? 2020 2020 2020 2020 2020 人口增長率數(shù)據(jù)預(yù)處理 年份 市 人口增長率 鎮(zhèn)人口增長率 鄉(xiāng)人口增長率 總?cè)丝谠鲩L率 2020 2020 2020 2020 2020 65 歲以上人口比率數(shù)據(jù)預(yù)處理 年份 65 以上市人口比 率 65 以上鎮(zhèn)人口比 率 65 以上鄉(xiāng)人口比 率 65 以上總?cè)丝诒?率 2020 2020 2020 2020 2020 60 歲以上人口比率數(shù)據(jù)預(yù)處理 年份 60 以上市人口比 率 60 以上鎮(zhèn)人口比 率 60 以上鄉(xiāng)人口比 率 60 以上總?cè)丝诒?率 2020 2020 2020 2020 2020 地區(qū)人口比率數(shù)據(jù)預(yù)處理 年份 市人口比率 鎮(zhèn)人口比率 鄉(xiāng)人口比率 2020 2020 2020 2020 2020 25 附錄 二： 程序 1_利用 Matlab 軟件求解灰色預(yù)測模型 GM(1， 1)程序 n=7。隨后， 從基于宋健等提出的人口動力系統(tǒng)微分方程，即人口發(fā)展方程出發(fā)，根據(jù)我國實際情況，對人口動力系統(tǒng)中的死亡率函數(shù)、生 育率函數(shù)等參數(shù)函數(shù)進行了分析討論 和 預(yù)測， 帶入人口 控制模型 中 ，即可 計算出相應(yīng)人口狀況 和各種人口 發(fā)展 指數(shù) 。 將模型求得的結(jié)果與最新發(fā)布的《 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告 》的部分數(shù)據(jù)進行對比，整理成下表： 年份 模型預(yù)測值 報告預(yù)測值 相對誤差 2010 8 274 2020 6 044 2033 5 15 102 容易看出，模型的預(yù)測值與研究報告的預(yù)測值 十分吻合。 時間序列 AR(p) 模型 結(jié)果分析 AR 模型的估計與實際數(shù)據(jù) 比較 接近 ,模型能很好地描述人口總體的波動情況 ，并且可以平穩(wěn)預(yù)測，這一優(yōu)點體現(xiàn)得十分明顯 。 程序預(yù)測的是未來 N 年的 ()i tx ，利用公式 9065 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年全國總?cè)丝诼?； 利用公式 9060 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年大于 60 歲的人口比率 ； 利用公式 9065 ()() ii xtyt ??? 可求出第 t 年大于 65 歲的人口比率。 15 它反映了人口變化的基本因素 ； (, )hrt 表示 一個女性在 r 歲時的生育概率 。 表 九 2020 年 — 2020 年 的 男女出生比例預(yù)測表 年份 市 男女出生比例 鎮(zhèn) 男女出生比例 鄉(xiāng) 男女出生比例 全國 男女出生比例 2020 2020 2020 2020 2020 從 表 九 可以看出，鎮(zhèn)和鄉(xiāng)的男女出生比例高于城市，各項目的男女出生比例均有微小增長趨勢。 表 六 2020 年 — 2020 年 的 65 歲以上人口比率預(yù)測表 10 年份 65 歲以上市人口比率 65 歲以上鎮(zhèn)人口比率 65 歲以上鄉(xiāng)人口比率 2020 2020 2020 2020 2020 表 七 2020 年 — 2020 年 的 60 歲以上人口比率預(yù)測表 年份 60 歲以上市人口比率 （ %） 60 歲以上鎮(zhèn)人口比率 （ %） 60歲以上鄉(xiāng)人口比率 （ %） 2020 2020 2020 2020 2020 有 表 六 、 七 可知 ，市和鎮(zhèn)的老齡化現(xiàn)象不及鄉(xiāng)村，且鄉(xiāng)村的老齡化現(xiàn)象還有增加趨勢，說明鄉(xiāng)村生活環(huán)境 的 改善與醫(yī)療衛(wèi)生水平的提高。 AR(3)模型 ： 1 1 2 2 3 3t t t t tY c Y Y Y? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? （ ） 用來預(yù)測市男女出生比率。 計算中從低到高估計模型參數(shù)，采用 AIC 準則判斷最優(yōu)階次。從比率變化的速度來看，市增加較慢，鎮(zhèn)增加較快，這說明鄉(xiāng)村人口首先向鎮(zhèn) 轉(zhuǎn)移 ，且 轉(zhuǎn)移 速度較快，符合實際情況。 回歸 預(yù)測模型 回歸 預(yù)測 模型 的建立 利用處理后的數(shù)據(jù)，我們首先用 SPSS 軟件 進行曲線擬合與參數(shù)估計，通過對各統(tǒng)計量的分析和比較，最終 得出 回歸 預(yù)測 方程 。 出于以上考慮 ，本文分別對中短期預(yù)測與長期趨勢預(yù)測建立不同的數(shù)學(xué)模型： 1）針對人口增長的中短期 趨勢 預(yù)測 ， 分別 建立 logistic（邏輯斯 蒂 ） 回歸預(yù)測模型 、時間序列 AR(p)模型 以及灰色 預(yù)測 GM(1,1)模型 進行求解 ； 2）針對人口增長的 長期趨勢 預(yù)測 ， 建立 人口控制論模型 ，綜合考慮各因素對人口增長的長期影響 。 1001051101151201251301 2 3 4市男女出生比例（女100計）鎮(zhèn)男女出生比例（女100計）鄉(xiāng)男女出生比例（女100計） 圖 2 過去四年間市鎮(zhèn)鄉(xiāng)男女出生比例條形圖 從 圖 2 可以看出，市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)男 性 的出生比例都大于女 性 ，而且這種現(xiàn)象在鎮(zhèn)和鄉(xiāng)中更為明顯。 二、 模型 假設(shè) 1. 題中所給數(shù)據(jù)是在年終統(tǒng)計的； 2. 假設(shè)中短期預(yù)測是 10 年，長期預(yù)測是 50 年； 3. 假設(shè)短期內(nèi)社會狀況沒有大的波動 ； 4. 在長期預(yù)測時， 把研究的社會人口當作一個整體，當作一個系統(tǒng)考慮； 3 5. 把時間的流逝，嬰兒的出生，人口的死亡和居民的遷移看成是人口狀態(tài)變化的全部因素 ； 三、 符號說明 t —— 年份 ； ? —— 人口增長率 ； r — — 人口 年齡 ； mr —— 人的最高壽命 ； ()Nt —— 第 t 年 該地區(qū)人口的總數(shù) ； (, )Frt —— 人口函數(shù) ， 該函數(shù)表示在 t 時刻該地區(qū)一切年齡小于 r 的 比率 ； (, )Prt —— 人口年齡分 布密度函數(shù) ， 該函數(shù)表示在 t 時刻，年齡為 r 的 比率 ； ( , )Mrt —— 人口死亡分布函數(shù) ， 表示在 t 時刻該地區(qū)年齡為 r 的人的死亡數(shù) 比率 ； (, )rt? —— 相對死亡率 ， ( , )( , ) ( , )M r trt P r t? ? ； (, )krt —— 女性在人口中所占的比例 ； (,)brt —— 第 t 年 平均每個 r 歲的女性的生育數(shù) ； ()ixt—— 人口比率 ； )(tdi —— 人口平均死亡率 ； ih(t) —— i 歲女性總生育率 ； )(tki —— 第 t 年 i 歲人口的女性比（占全部 i 歲人口數(shù)） ； )(tbi —— 第 t 年 i 歲女性的生育率 ， 即每位女性平均生育嬰兒數(shù) ； 四、 問題分析 問題 背景的理解 本問題是 在 我國人口 老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等 實際情況下提出的，這就要求我們 必須 充分考慮各因素對人口增長率的影響， 然后 建立綜合預(yù)測模型對我國人口國情進行刻畫。 目前 ，我國正面臨著比 20 世紀更為復(fù)雜的人口發(fā)展形勢。 2 關(guān)鍵詞： 人口預(yù)測 ； 回歸分析 ； 時間序列 ； 灰色 預(yù)測 ； 控制論 一、 問題重 述 人口數(shù)量、質(zhì)量和年齡分布 等因素 直接影響一個 國家或 地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展、資源分配、社會保障、社會穩(wěn)定和城市活力。此外，考慮到樣本 信息缺乏、 數(shù)據(jù)較少，建立了灰色系統(tǒng) GM(1,1)模型，利用 Matlab 軟件 編程求解部分影響因素 的 中短期預(yù)測 值 ，并與前面的模型進行分析比較，驗證了預(yù)測的合理性。 首先，利用 Excel 軟件對我國的人口現(xiàn)狀進行統(tǒng)計分析，從中可以看出人口老齡化進程加速，出生人口性別比例呈上升趨勢，鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化明顯。 針 對不同的 )(t? （每位婦女一生中平均生育的嬰兒數(shù)）進行人口增長的長期預(yù)測，結(jié)果表明當 ( ) ?t? 時，模型預(yù)測出我國總?cè)丝诘?2030 年增長到最高值 億；當 ( ) ?t? 時，我國總?cè)丝趯掷m(xù)增長。 隨著對人口規(guī)劃精準度要求的提高，通過數(shù)學(xué)方法來定量計算各種人口指數(shù)的方法日益受到重視，這就是人口控制與人口預(yù)測。 根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。如何準確地預(yù)測 人口老齡化 指標，對于政府相關(guān)政策的實施，有著重要的指導(dǎo)意義。 從圖 3 可見，鄉(xiāng)村人口所占比例逐 漸減少，而市和鎮(zhèn)的人口比例逐漸上升，并且這種趨勢會持續(xù)一段時間，直到城鄉(xiāng)比例均衡。 2）數(shù)據(jù)的歸一化處理 由于定量因素賦值單位 （或數(shù)量級） 不統(tǒng)一，且可能數(shù)值大小會差別很大，需要對 6 其進行無量綱化處理，使所得數(shù)據(jù)具有可比性。 2R 和 F 統(tǒng)計量都比較大，且比較符合實際情況，故建立邏輯 函數(shù)（ Logistic）模型 進行預(yù)測 。 時間序列 AR(p) 模型 AR(p)模型的建立 由于人口模型是與時間相關(guān)的，我們選擇時間序列自回歸 AR(p)模型。 參數(shù)估計是在給定階次的情況下進行的。通過Eviews 軟件對以上類別進行 之后五年的 預(yù)測 ，結(jié)果如下： 表 三 2020 年 — 2020 年 的人口 出生率 預(yù)測表 年份 市人口 出生 率 鎮(zhèn) 人口 出生 率 鄉(xiāng) 人口 出生 率 全國 人口 出生 率 2020 2020 2020 2020 2020 從表 三 可以看出，市人口出 生率處于波動之中，鎮(zhèn)人口出生率呈下降趨勢，鄉(xiāng)人口出生率呈下降趨勢，全國人中出生率有下降趨勢。