【正文】 1)的灰微分方程模型為 bkazkx ?? )()( )1()0( （ ） 其中， ? ?? ? ? ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ??? ??????????nknknknknknknknknknknkkzkznkxkzkzkzkzbkzkznkxkznkxkza222)1(2)1(2 2)0(2 2)1()1(2)1()1(222)1(2)1(2)0()1(2 2)0()1())(()()1()()()()()(。 長期趨勢預測 模型 人口控制論 模型 為對我 國人口數(shù)目進行長期趨勢預測 ，本文 利用 宋健 【 8】 提出 的人口控制論 模型 ， 并針 對具體因素 的 影響 對 方程加以補充 。 顯然有： ( , ) 0Pr t ? ( , ) 0mP r t ? 0( , ) ( , )rF r t P t d??? ? 00( , ) ( , ) ( , ) ( )mrmF r t P t d P t d N t? ? ? ??? ? ??? t 時刻年齡在 1r 到 2r 之間的人口為： 2121( , ) ( , ) ( , )rrF r t F r t P t d??? ? 13 t 時刻年齡 在 [ , ]r r r?? 的人數(shù)為 ( , )Prt r? 過了 t? 時間后，死亡人數(shù)為： ( , ) ( , )r t P r t r t? ?? 另一部分沒有死，他們活到了 tt?? 時刻，此時他們的年齡處于區(qū)間 [ , ]r r r r r??? ? ? ? ? ?，顯然有 rt?? ?? 即在 tt?? 時刻，年齡在 [ , ]r r r r r??? ? ? ? ? ?中的人口數(shù)為： ( , )P r r t t r?? ? ? ? ? 于是 有 下式 成立 ： ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r t r P r r t t r r t P r t r t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可寫成： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r r t t r P r t t r P r t t r P r t r r t P r t r t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩邊同除以 rt??，于是： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r r t t P r t t P r t t P r t r t P r trt ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? 取極限： ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P r t P r t r t P r trt ???? ? ??? （ ） 初始條件： 0( ,0) ( )P r P r? 0()Pr為初始時刻的人口密度 邊界條件： ( 0 , ) ( ) ( ) ( )P t t t N t???? ()t? 為相對出生率 綜上便得到了人口 增長 的微分方程模型 ： 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , 0) ( )( 0 , ) ( ) ( ) ( )P r t P r t r t P r trtP r P rP t t t N t?????? ? ? ?? ??? ??? ???? （ ） 現(xiàn)在對 ( ,0)Pr 和 (, )rt? 進行擬合 ，以 2020 年為第 0 年，將 2020 年 0 歲到 90+的人口分布為樣本數(shù)據(jù)，用 SPSS 軟件進行數(shù)據(jù)分析和曲線擬合，發(fā)現(xiàn)三次曲線比其它曲線擬合優(yōu)度高，所以用三次曲線作為 ( ,0)Pr 的擬合曲線，結(jié)果為： 2 5 3( , 0) 67 6 02 10P r r r r?? ? ? ? ? （ ） 考慮 在一個穩(wěn)定的社會 中，與年齡有關(guān)的死亡率可以認為 與時間無關(guān) ，同上，將 2020 14 年 0 歲到 90+的死亡率 為樣本數(shù)據(jù)，用 SPSS 軟件進行數(shù)據(jù)分析和曲線擬合，發(fā)現(xiàn)指數(shù)曲線擬合效果比較好，分析參數(shù)得到： 0. 071( ) rre? ?? （ ） 同時，對 原始 數(shù)據(jù)進行 處理得到： ( ) (0 , ) 1. 06 6t P t? ?? 將以上三式代入 （ ） 式，得到人口分布函數(shù)為： 0 .0 7 10 .0 7 100. 03 92 5 30. 03 9( 0 .4 6 7 0 .0 6 0 .0 0 2 1 .5 1 0 ) 0( , )1 .0 6 6rrtrededr r r e t rP r te r t????????? ?? ? ? ? ? ??? ? ???? （ ） 則 人口分布函數(shù)： 0( , ) ( , )rF r t P t d??? ? 取 65 60r? 或 時，即可看出中國老齡化情況。 如果 ()t? ， k(r,t) ， (, )hrt 都與時間無關(guān)，則： 2211( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )rrf t t h r t k r t P r t d r h r k r P r t d r?????? （ ） 以 2020 年為第 0 年，將 2020 年 15 歲到 49 的人口分布為樣本數(shù)據(jù)，用 SPSS 軟件進行數(shù)據(jù)分析和曲線擬合， h(r) 用分段函數(shù)擬合， k(r) 用三次曲線擬合， 得到： 1 6 . 5 1 1 0 . 8 4 69 . 9 9 3 0 . 2 7 61 5 2 4() 2 5 4 9rrerhr ???? ??? ? ??? （ ） 2 6 3( ) 19 41 01 7 10k r r r r?? ? ? ? ? （ ） 結(jié)合 （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） 可求出 ()ft 。 0 , 1 , 2 , .. .i i ix t d t x t i m t? ? ? ? ? ? ? （ 4） 設(shè)第 t 年 i 歲女性的生育率：即每位女性平均生育嬰兒數(shù)為 )(tbi ， 12[r,r] 為生育區(qū)間。 模型的預測結(jié)果： 當 ( ) ?t? 時 ， 利用人口基數(shù)數(shù)據(jù)（ 來源：《人口統(tǒng)計年鑒》， 見附錄四），通過模型解得出未來 45 年的全國總?cè)丝跀?shù)，見表 十 ： 表 十 模型預測數(shù)據(jù)整理表 19 年份 人口數(shù) (萬人 ) 年份 人口數(shù) (萬人 ) 年份 人口數(shù) (萬人 ) 2020 2021 2036 2020 2022 2037 2020 2023 2038 2020 2024 2039 2020 2025 2040 2020 2026 2041 2020 2027 2042 2020 2028 2043 2020 2029 2044 2020 2030 2045 2020 2031 2046 2017 2032 2047 2018 2033 2048 2019 2034 2049 2020 2035 2050 通過 上表可以看出，未來我國的人口總數(shù)將隨著時間的推移，呈現(xiàn)一個先增后減的趨勢，并將在 2030 年達到人口總量最高峰。 事實上， 人口的數(shù)量不僅和時間有關(guān)，還應(yīng)和年齡有關(guān)，而且出生率和死亡率也都和年齡有關(guān)。 人口預測 模型 表明 ，用 AR(p)模型預測 時相關(guān) 非線性系統(tǒng)或物理過程，可以獲得令人滿意的結(jié)果。通過與其它模型的對比分析中可以看出： GM(1,1)模型也是一種比較有效的預測方法。 七 、 模型評價 與 改進 模型評價 模型優(yōu)點 （ 1） 采用較為成熟的數(shù)學理論建立模型，可信度比較高； （ 2） 模型的求解采用專業(yè)的數(shù)學軟件 (,， )， 求解精度較 高 ，便于推廣； （ 3） 在 利用數(shù)據(jù)信息之前 ， 首先原始數(shù)據(jù)進行預處理：剔除明顯異常的數(shù)據(jù)以及利用極差變換法很好地 解決了量綱 （數(shù)量級） 不一致 的問題 ； （ 4） 在進行長期預測時，采用了機理分析的方法，將很多復雜的因素綜合地考慮進來，降低了預測難度，便于推廣。 對于死亡率函數(shù)，由于死亡率變化受外界變化的影響極大，在數(shù) 值上表現(xiàn)為按年齡段的死亡率變化不穩(wěn)定 ， 很難尋出規(guī)律，也就是很難用現(xiàn)有的數(shù)學模型擬合出來建立預測模型 (本文運用灰色系統(tǒng)模型、時間序列模型、回歸模型、以及綜合 預測 模型對按年齡段死亡率進行建模預測都難以達到很高的精度 )，對于如何精確建立死亡率函數(shù)就是日后 進一步研究的問題 。 通過 改變可控量 ? （總和生育率）的取值 ， 利用上述人口增長的長期預測模型， 我們可以看出我國人口形勢問題依然嚴峻 ： 即使在 全民 嚴格執(zhí)行計劃生育 政策 ( ?? )的前提下，我國人口在短期幾年內(nèi)還是呈遞增趨勢，即使是下降也是到 2040 年才會降低到 10 億以下為 億 ； 若 ?? ，總?cè)丝诘?2020 年增長到最高值 億 ，到2060 年才會降低到 10 億以下 ； 若 ?? ，總?cè)丝诘?2030 年增長到最高值 億 ，到 2100 年降低至 億 。 所以我國現(xiàn)在面對的不僅僅是簡單的人口過多的問題，解決的辦法也不僅僅是靠人口的減少，因為隨之而來的還有勞動力人口過剩，人口老齡化程度的加深等等一系列問 23 題。%經(jīng)過預處理后的數(shù)據(jù) g0=[,113]。 for i=2:n, x1(i)=x1(i1)+x0(i)。 E=sum(z1.*x0(2:n))。 deta_b=D*FC*E。 end x3(1)=x0(1)?；疑到y(tǒng) 預測結(jié)果： 39。 (預測 .txt,ios::app)。 26 B[2]=。 B[6]=。 B[10]=。 B[14]=。 B[18]=。 B[22]=。 B[26]=。 B[30]=。 B[34]=。 B[38]=。 B[42]=。 27 B[46]=。 B[50]=。 B[54]=。 B[58]=。 B[62]=。 B[66]=。 B[70]=。 B[74]=。 B[78]=。 B[82]=。 B[86]=。 28 B[90]=。 S[0]=。 S[4]=。 S[8]=。 S[12]=。 S[16]=。 S[20]=。 S[24]=。 S[28]=。 S[32]=。 S[36]=。 S[40]=。 S[44]=。 S[48]=。 S[52]=。 S[56]=。 S[60]=。 S[64]=。 S[68]=。 S[72]=。 S[76]=。 S[80]=。 S[84]=。 S[88]=。i++) { B1[i]=S[i1]*B[i1]。i91。 SE[16]=。 SE[20]=。 SE[24]=。 SE[28]=。 SE[32]=。 SE[36]=。 SE[40]=。 SE[44]=。 SE[48]=。 for(i=0。i91。 } for(i=