【正文】 析表達(dá)式。 又因?yàn)?f(x0)－ x0，所以 x0－ x20 =0， 故 x0=0 或 x0=1。 題型六：函數(shù)應(yīng)用 例 8．（ 20xx 北京春，理文 21）某租賃公司擁有汽車 100 輛 .當(dāng)每輛車的月租金為 3000元時(shí)，可全部租出。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。 第 25 頁(yè) 共 27 頁(yè) （ II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為 x 與 y ，類似（ I）得 545(1 )cx c?? ? ， (99 100 )y a c??（ *） 于是 545(1 )cxy c??? ?+ (99 100 )ac? 1 1 0 0 (1 ) 15 (1 ) a c ac? ? ? ? ?? 當(dāng) a 為定值時(shí) , 12 1 0 0 ( 1 ) 1 4 5 15 ( 1 )x y a c a a ac? ? ? ? ? ? ? ? ? ??, 當(dāng)且僅當(dāng) 1 1 0 0 (1 )5 (1 ) acc ???時(shí)等號(hào) 成立。 題型 7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 10．（ 1） 設(shè) dcxbxaxxxf ????? 234)( ，其中 a、 b、 c、 d 是常數(shù)。 2． 求函數(shù)定義域一般有三類問題： （ 1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合； （ 2）實(shí)際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義； （ 3）已知 ()fx的定義域求 [ ( )]f g x 的定義域或已知 [ ( )]f g x 的定義域求 ()fx的定義域 ： 第 27 頁(yè) 共 27 頁(yè) ① 掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域； ②若已知 ()fx的定義域 ? ?,ab ，其復(fù)合函數(shù) ? ?()f g x 的定義域應(yīng)由 ()a g x b??解出 。 。 由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的 x 的取值范圍新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/它依賴 于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練 。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決。 由 ? 得方案乙初次用水量為 3, 第二次用水量 y 滿足方程 : ,yaya? ??解得 y=4a ,故 z=4a + 兩種方案 的用水量分別為 19 與 4a +3。 即當(dāng)每輛車的月租金定為 4050 元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益 為 307050 元 . 點(diǎn)評(píng)： 根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達(dá)式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實(shí)際問題本身的限制 。 點(diǎn)評(píng)：該題的題設(shè)條件是一個(gè)抽象函數(shù)，通過應(yīng)用條件進(jìn)一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。 所以對(duì)任意 x∈ R，有 f(x)－ x2 +x= x0.。 例 7．（ 20xx 重慶理 21） 已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f(x)滿足 f(f(x)－ x2+x)=f(x)－ x2+x。 （ 9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為： si n c os 1 2x y x y? ? ?， ∴ 21 sin ( ) 1 2y x y?? ? ? ?（其中221c o s , s in11 yyy??????）， ∴212s in ( ) [ 1 , 1 ]1 yx y? ?? ? ? ??， ∴ 2|1 2 | 1yy? ? ? ， 第 22 頁(yè) 共 27 頁(yè) ∴ 23 4 0yy??， ∴ 403y??， ∴ 原函數(shù)的值域?yàn)?4[0, ]3。 第 20 頁(yè) 共 27 頁(yè) （法二）分離變量法： 3 1 3 ( 2 ) 7 732 2 2xxy x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?， ∵ 7 02x ??， ∴ 7332x???， ∴ 函數(shù) 312xy x ?? ?的值域?yàn)?{ | 3}y R y??。 題型四：函數(shù)值 域問題 例 5． 求下列函數(shù)的值域： （ 1） 232y x x? ? ? ；（ 2） 2 65y x x? ? ? ?；（ 3） 312xy x ?? ?； （ 4） 41y x x? ? ? ；（ 5） 21y x x? ? ? ；（ 6） | 1 | | 4 |y x x? ? ? ?； （ 7） 22221xxy xx??? ??；（ 8） 22 1 1()2 1 2xxyxx?????；（ 9） 1 sin2 cosxy x?? ?。 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于兩 個(gè)函數(shù) y=f（ x）和 y=g（ x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)， y=f（ x）和 y=g（ x）才表示同一函數(shù)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然 。 解：（ 1）由 ? ? ? ?12fxfx??得 ? ? ? ?14 ( )2f x f xfx? ? ??， 所以 (5) (1) 5ff? ? ?，則 ? ?? ? 115 ( 5 ) ( 1 )( 1 2 ) 5f f f f f? ? ? ? ? ? ???。 （ 2）“都有唯一”什么意思？ 包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。 3．兩個(gè)函數(shù)的相等： 函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域 A、值域 C 和對(duì)應(yīng)法則 f。 預(yù)測(cè) 20xx 年高考對(duì)本節(jié)的考察是： 1．題型是 1 個(gè)選擇和一個(gè) 填空； 2．熱點(diǎn)是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點(diǎn)。 條件為 BA? ，在討論的時(shí)候不要遺忘了 ??A 的情況。 1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào)，如 ?、?、 ? 、 、 =、 SC A、∪，∩等等； 2．強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運(yùn)用 Venn 圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個(gè)集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“ Venn 圖”來加深對(duì)集合的理解，一個(gè)集合能化簡(jiǎn)（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)（或求解）； 3．確定集 合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時(shí)應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。上面的例子說明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。 第 8 頁(yè) 共 27 頁(yè) （ 3）不正確；取 a1=1， d=1，對(duì)一切的 x∈ N*，有 an=a1+(n－ 1)d=n0,nSn 0，這時(shí)集合 A 中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于 a1=1≠ 0新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 如果 A∩ B≠ ? ，那么據(jù) (2)的結(jié)論， A∩ B 中至多有一個(gè)元素 (x0,y0), 而 x0=5224 121 ????aa＜0,y0=432 01 ??xa＜ 0，這樣的 (x0,y0)?A,產(chǎn)生矛盾，故 a1=1,d=1 時(shí) A∩ B=? ，所以 a1≠ 0時(shí)，一定有 A∩ B≠ ? 是不正確的。 點(diǎn)評(píng)：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性 題目。 10)－ (200247。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。 方法四：根據(jù)題意，我們畫出 Venn 圖來解，易知 B A，如圖：可以清楚看到 I=A∪（ IC B）是成立的。故選項(xiàng)為 D。 另法： ∵ }0{?ACS ∴ AS ?? 00 且 ， 3 A? ∴ 322x x x?? ＝ 0 且 2 1 3x?? ∴ 1x?? 或 2x? 。選項(xiàng)為 A； 點(diǎn)評(píng)：該題考察集合子集個(gè)數(shù)公式。選項(xiàng)為 D； 點(diǎn)評(píng)：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。 注意：求集 合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合 Venn 圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。 注意： 列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。第 1 頁(yè) 共 27 頁(yè) 《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第一講 集 合 一．課標(biāo)要求： 1． 集合的含義與表示 （ 1）通過實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系； （ 2）能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用； 2．集合間的基本關(guān)系 （ 1）理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集； （ 2）在具體情境中，了解全集與空集的含義； 3． 集合的基本運(yùn)算 （ 1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與 交集； （ 2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集； （ 3）能使用 Venn 圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用。 第 2 頁(yè) 共 27 頁(yè) 具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元 素所具有的共同特征。 }|{ BxAxxBA ???? 或并集 。則 AA ?? }29{,29。 題型 2：集合的性質(zhì) 例 3． （ 20xx 廣東， 1）已知集合 A={1， 2， 3， 4}，那么 A 的真子集的個(gè)數(shù)是（ ） A． 15 B． 16 C． 3 D． 4 解： 根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有 24－ 1=15（個(gè)）。 解：∵ }0{?ACS ； ∴ AS ?? 00 且 ，即 322x x x?? ＝ 0，解得 1 2 30 , 1, 2x x x? ? ? ? 當(dāng) 0?x 時(shí)， 112 ??x ，為 A 中元素； 當(dāng) 1??x 時(shí)， Sx ??? 312 當(dāng) 2x? 時(shí)， 2 1 3xS? ? ? ∴這樣的實(shí)數(shù) x 存在，是 1x?? 或 2x? 。從而)3,2(??BA 。 例 8．（ 1996 全國(guó)理， 1）已知全集 I＝ N*，集合 A＝｛ x｜ x＝ 2n， n∈ N*｝， B＝｛ x｜x＝ 4n， n∈ N｝，則（ ） A． I＝ A∪ B B． I＝（ IC A）∪ B C． I＝ A∪（ IC B ） D． I＝（ IC A）∪（ IC B） 解：方法一： IC A 中元素是非 2 的倍數(shù)的自然數(shù)， IC B 中元素是非 4 的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有Ｃ選項(xiàng)正確 . 方法二：因 A＝｛ 2， 4， 6， 8?｝， B＝｛ 4， 8， 12， 16，?｝，所以 IC B＝｛ 1， 2， 3， 5， 6， 7， 9?｝，所以 I＝ A∪ IC B，故圖 圖 第 6 頁(yè) 共 27 頁(yè) 答案為Ｃ . 方法三：因 B A，所以（ IC ） A （ IC ） B，（ IC ） A∩（ IC B） ＝ IC A，故 I＝ A∪（ IC A）＝ A∪（ IC B） 。 點(diǎn)評(píng)：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。 5) － (200247。 因?yàn)?A? B，所以??? ?? ??? 32 22aa ，于是 0≤ a≤ 1。 ∴ A∩ B 至多有一個(gè)元素 。 題型 6：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 13． 七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個(gè)位置之一，乙、丙都不能站在正中間的 位置，則有