【正文】 設(shè) cos , [0, ]x ? ? ???， 則 c o s s in 2 s in ( )4y ?? ? ?? ? ? ? ∵ [0, ]??? ， ∴ 5[ , ]4 4 4? ? ?? ??， ∴ 2sin ( ) [ ,1]42?? ? ? ?， ∴ 2 s in ( ) [ 1, 2 ]4?? ? ? ?， ∴ 原函數(shù)的值域為 [ 1, 2]? 。 又 ∵ 226 5 ( 3 ) 4 4x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 04???，故 [0,2]?? ， ∴ 2 65y x x? ? ? ?的值域為 [0,2] 。 改題：求函數(shù) 232y x x? ? ? ， [1,3]x? 的值域 。 解：（ 1）由 0＜ x2 ＜ 2， 得 點評：本例不給出 f(x)的解析式，即由 f(x)的定義域求函數(shù) f[g(x)]的定義域新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/關(guān)鍵 在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法； 求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會涉及到 。 （ 2）對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù) 。01 ,01 xx的定義域為 R，所以它們不是同一函數(shù) ； （ 3）由于當(dāng) n∈ N*時， 2n177。 點評： 通過對抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式，考察學(xué)生的邏輯思維能力。 變式題：（ 20xx 山東 文 2）設(shè) 1232 , 2( ) ( ( 2 ) )l o g ( 1 ) 2 .xexf x f fxx???? ? ????＜ ， 則 的 值 為，（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解：選項為 C。 7．分段函數(shù) 若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)； 8．復(fù)合函數(shù) 第 15 頁 共 27 頁 若 y=f(u)， u=g(x),x?(a， b)， u?(m,n)，那么 y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)， u 稱為中間變量，它的取值范圍是 g(x)的值域 。 函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。 因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。 （ 2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。記作： y=f(x)， x∈ A。 從近幾年來看，對本部分內(nèi)容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實際應(yīng)用題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果。 ”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線 (面 )的關(guān)系。 }0{ 、 ? 和 }{? 的區(qū)別； 0 與三者間的關(guān)系 。 ③若集合 A 中有 n )( Nn? 個元素，則集合 A 的所有不同的子集個數(shù)為 n2 ，所有真子集的個數(shù)是 n2 － 1, 所有非空真子集的個數(shù)是 22?n 。 點評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。 （ 3）設(shè) Ax ?)(? ,任取 )2,1(?lx ,令 ,2,1),2(1 ?????? nxx nn ? 證明 :給定正整數(shù) k,對任意的正整數(shù) p,成立不等式 ||1||121 xxLLxx kklk ??????。512494},81,9,3,1{,3,)1(,9,10,1},{,132342332332332422424441121141242322214321?????????????????????????????????????BAaaaaaaaaaaBAaaaaaaaaaaaaaBAaaaaaaaa綜上不合與條件矛盾同樣可得則若則若而只可能有?? （Ⅲ） },05224|),{(},1|),{( 22 ???????? yxxyxBxyyxA設(shè)集合 . ,)(,},|),{(試證明你的結(jié)論 使問是否存在自然數(shù) ?????? CBAbkbkxyyxC 分析：正確理解 .,)( 題并轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問??? CBA 要使 ??????????? CBCACBCACBA 且必須,)()()( , 由 ,01)12(1 2222 ????????? ?? ?? bxkbxkbkxy xy 當(dāng) k=0 時，方程有解 12 ??bx ,不合題意； 當(dāng) kkbbkkbk 4 140)1(4)12(0 22221 ????????? 得時由① 又由 ,025)1(2405224 22 ????????? ?? ???? bxkxbkxy yxx 由 8 )1(200)25(16)1(4 222 ????????? kbbk 得②， 第 10 頁 共 27 頁 由①、②得 ,820,141 ???? bkkb 而 ∵ b 為自然數(shù)，∴ b=2，代入①、②得 k=1 點評：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。 變式題：解答下述問題： （Ⅰ）設(shè)集合 },0|{},0422|{ 2 ??????? xxBmxxxA ， ???BA若 ,求實數(shù)m 的取值范圍 . 分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 ??BA 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 ??BA 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。 （ 2）正確 ； 設(shè) (x,y)∈ A∩ B,則 (x,y)中的坐標(biāo) x,y 應(yīng)是方程組???????????1412121221yxaxy 的解，由方程組消去 y 得： 2a1x+a12=－ 4(*)， 當(dāng) a1=0 時，方程 (*)無解，此時 A∩ B=? ； 當(dāng) a1≠ 0 時，方程 (*)只有一個解 x=12124aa??,此時，方程組也只有一解????????????1211214424aayaay,故上述方程組至多有一解 。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法 .體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。 由 212??xx 1，得 23??xx 0，即－ 2x3，所以 B={x|－ 2x3}。 15) ＋ (200247。 3）＋ (200247。本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時理不清頭緒，不好找線索。所以對 A、 B 都贊成的同學(xué)有 21 人，都不贊成的有 8 人新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/。 題型 5：集合的應(yīng)用 例 9． 向 50 名學(xué)生調(diào)查對 A、 B 兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 贊成 A 的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成 B 的比贊成 A 的多 3 人，其余的不贊成；另外，對 A、 B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對 A、 B 都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多 1 人 。 點評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問題。 例 6．（ 06 安徽理， 1） 設(shè)集合 ? ?2 2 ,A x x x R? ? ? ?，? ?2| , 1 2B y y x x? ? ? ? ? ?，則 ? ?RC A B 等于（ ） A． R B． ? ?,0x x R x?? C． ??0 D． ? 解： [0,2]A? ， [ 4,0]B?? ，所以 ? ? {0}RRC A B C? ，故選 B。 題型 3：集合的運算 例 5．（ 06 全國Ⅱ理， 2） 已知集合 M＝｛ x|x＜ 3} ， N＝｛ x|log2x＞ 1｝，則 M∩ N＝（ ） A． ? B． ｛ x|0＜ x＜ 3} C． ｛ x|1＜ x＜ 3} D． ｛ x|2＜ x＜ 3} 解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且 21，顯然由 1log2 ?x 易得 ),2( ???B 。分類討論的過程中“當(dāng) 0?x 時，112 ??x ”不能滿足集合中元素的互異性。 例 4．已知全集 32{1, 3, 2 }S x x x? ? ?， A={1, 21x? }如果 }0{?ACS ，則這樣的實數(shù) x 是否存在？若存在，求出 x ，若不存在，說明理由 。同時， A 不是 A 的真子集。集合 Q 中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進行分類討論，不能忽略 m=0 的情況。 例 2． 設(shè)集合 P={m|－ 1＜ m≤ 0} ， Q={m∈ R|mx2+4mx－ 4＜ 0 對任意實數(shù) x 恒成立 } ，則下列關(guān)系中成立的是（ ） A． P Q B． Q P C． P=Q D． P∩ Q=Q 解： Q={m∈ R|mx2+4mx－ 4＜ 0 對任意實數(shù) x 恒成立＝，對 m 分類： ① m=0 時， － 4＜ 0 恒成立； ② m＜ 0 時，需 Δ =（ 4m） 2－ 4 m（－ 4）＜ 0，解得 m＜ 0。 四．典例解析 題型 1：集合的概念 例 1．設(shè)集合 },4121|{ ZkkxxA ????，若29?x，則下列關(guān)系正確的是（ ） A． Ax? B． Ax? C． Ax?}{ D． Ax ?}{ 解：由于4 124121 ??? kk中 12?k 只能取到所有的奇數(shù)，而41829?中 18 為偶數(shù)。, ABBAAAAA ????????? （ 2） 。 （ 2）一般地，由所有屬于集合 A 或?qū)儆诩?B 的元素所組成的集合，稱為集合 A與 B 的并集。 2．集合的包含關(guān)系： （ 1）集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，則稱 A 是 B 的子集（或 B 包含 A），記作 A? B（或 BA? ）； 集合相 等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。 （ 1）集合中的對象稱元素，若 a 是集合 A 的元素，記作 Aa? ；若 b 不是集合 A 的元素，記作 Ab? ； （ 2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性； 確定性：設(shè) A 是一個給定的集合， x 是某一個具體對象，則或者是 A 的元素 ，或者不是 A 的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立； 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素； 無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)； （ 3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法； 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號 {}內(nèi)。考試形式多以一道選擇題為主，分值 5 分。 二．命題走向 有關(guān)集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用 Venn 圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練。 三．要點精講 1．集合：某