【正文】 些指定的對(duì)象集在一起成為集合。 （ 4）常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作 N； 正整數(shù)集，記作 N*或 N+； 整數(shù)集，記作 Z； 有理數(shù)集，記作 Q； 實(shí)數(shù)集，記作 R。交集 }|{ BxAxxBA ???? 且。 5．集合的簡單性質(zhì)： （ 1） 。； （ 5） SC （ A∩ B） =（ SC A）∪（ SC B）， SC （ A∪ B） =（ SC A）∩（ SC B）。首先應(yīng)該分清 楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系，同時(shí)考察了分類討論的思想。注意求真子集時(shí)千萬不要忘記空集 ? 是任何非空集合的真子集。 答案：這樣的集合 M 有 8 個(gè)。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。 解：由 BA? 可知， （ 1）??? ?? ??22 mqdmmqdm ，或（ 2）??? ?? ?? mqdm mqdm 2 2 解（ 1）得 1?q ， 解（ 2）得21,1 ??? qq 或， 又 因?yàn)楫?dāng) 1?q 時(shí)， 2mqmqm ?? 與題意不符， 第 5 頁 共 27 頁 所以，21??q。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。 解：∵ A={x|－ 2≤ x≤ 2}， B={x|x≥ a}，又 A? B，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如圖所示，因此有 a≤－ 2。 點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意 數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無限集考查，提高了對(duì)邏輯思維能力的要求。依題意 (30－ x)+(33－ x)+x+(3x+1)=50,解得 x=21。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。 2）＋（ 200247。 6)－ (200247。 解：由 |x－ a|2，得 a－ 2xa+2，所以 A={x|a－ 2xa+2}。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。 解 ： （ 1）正確 ； 在等差數(shù)列 {an}中， Sn=2 )( 1 naan ?,則21?nSn(a1+an),這表明點(diǎn) (an,nSn)的坐標(biāo)適合方程 y21?(x+a1),于是點(diǎn) (an, nSn)均在直線 y=21x+21a1 上 。 點(diǎn)評(píng)：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識(shí)，屬于知識(shí)交匯題。,5,3,)2(。 例 14． A 是由定義在 ]4,2[ 上且滿足如下條件的函數(shù) )(x? 組成的集合：①對(duì)任意]2,1[?x ，都有 )2,1()2( ?x? ； ②存在常數(shù) )10( ??LL ，使得對(duì)任意的 ]2,1[, 21 ?xx ，都有 |||)2()2(| 2121 xxLxx ??? ?? （ 1）設(shè) ]4,2[,1)( 3 ??? xxx? ，證明： Ax ?)(? （ 2）設(shè) Ax ?)(? ,如果存在 )2,1(0?x ,使得 )2( 00 xx ?? ,那么這樣的 0x 是唯一的 。 121223 )2()2( xxLxxxx ????? ?? ， 所以 1211 xxLxx nnn ??? ?? ? ? ? ? ? ? ||1|| 1211211 xxLLxxxxxxxx kkkpkpkpkpkkpk ?????????? ?????????? ? kkpkpkpkpk xxxxxx ?????? ???????? 1211 ? ? 123122 xxLxxL pkpk ??? ???? +? 121 xxLk ?? 1211 xxLLK ??? ? 。 ① 區(qū)別∈與 、 與 ? 、 a 與 {a}、φ與 {φ }、 {(1,2)}與 {1,2}； ② A? B 時(shí)， A 有兩種情況： A＝φ與 A≠φ 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合 。 ⑥ 符號(hào)“ ??, ”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；符號(hào)“ ,?216。 二．命題走向 函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的 重點(diǎn)，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。 三．要點(diǎn)精講 1． 函數(shù)的概念： 設(shè) A、 B 是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f： A→ B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)。 2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域 （ 1）解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式： 第 14 頁 共 27 頁 ①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量 x 的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）； ②限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量 x 的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤 ； ③實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量 x 的實(shí)際意義。 當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定 。記作“ f： A? B”。 6． 常用的函數(shù)表示法 （ 1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的 解析表達(dá)式，簡稱解析式 ； （ 2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系 ； （ 3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系 。 點(diǎn)評(píng)：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。 （ 2）由 ? ? ? ?12fxfx??得 ? ? ? ?14 ( )2f x f xfx? ? ??，所以 (5) (1) 5ff? ? ?，則 ? ?? ? 115 ( 5 ) ( 1 )( 1 2 ) 5f f f f f? ? ? ? ? ? ???。 解： （ 1）由于 f（ x） = 2x =|x|， g（ x） =3 3x =x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù) ； （ 2）由于函數(shù) f（ x） =xx||的定義域?yàn)椋ǎ蓿?0）∪（ 0， +∞），而 g（ x） =??? ?? ? 。 （ 1）第（ 5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則 f 不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表 達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無影響，比如 f（ x） =x2+1， f（ t） =t2+1， f（ u+1） =（ u+1）2+1 都可視為同一函數(shù) 。 例 5． 已知函數(shù) ??fx定義域?yàn)?(0， 2)，求下列函數(shù)的定義域： (1) 2( ) 23fx? ； (2) 212( ) 1log (2 )fxyx???。 解 ：（ 1）（配方法） 22 1 2 3 2 33 2 3 ( )6 1 2 1 2y x x x? ? ? ? ? ? ?， ∴ 232y x x? ? ? 的 值域?yàn)?23[ , )12??。 （ 2） 求復(fù)合函數(shù)的值域： 設(shè) 2 65xx? ? ? ? ?（ 0?? ），則原函數(shù)可化為 y ?? 。 （ 4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè) 10tx? ? ? ，則 21xt?? ， ∴ 原函數(shù)可化為 221 4 ( 2) 5 ( 0)y t t t t? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 5y? ， ∴ 原函數(shù)值域?yàn)?( ,5]?? 。 由 22221xxy xx??? ??得： 2( 2 ) ( 1 ) 2 0y x y x y? ? ? ? ? ? ① 第 21 頁 共 27 頁 ①當(dāng) 20y?? 即 2y? 時(shí)， ① 即 3 0 0x?? ， ∴ 0xR?? ②當(dāng) 20y?? 即 2y? 時(shí)， ∵ xR? 時(shí)方程 2( 2 ) ( 1 ) 2 0y x y x y? ? ? ? ? ?恒有實(shí)根， ∴ △ 22( 1 ) 4 ( 2) 0yy? ? ? ? ? ?， ∴ 15y??且 2y? ， ∴ 原函數(shù)的值域?yàn)?[1,5] 。 點(diǎn)評(píng)： 上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小 值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。 （ 3）設(shè) ( ) ( 0)f x ax b a? ? ?， 則 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 3 3 2 2 2f x f x ax a b ax a b? ? ? ? ? ? ? ? ?5 2 17ax b a x? ? ? ? ?， ∴ 2a? ， 7b? ， ∴ ( ) 2 7f x x??。 （Ⅰ）若 f(2)=3,求 f(1)；又若 f(0)=a,求 f(a)； （Ⅱ）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) x0，使得 f(x0)= x0。 若 f(0)=a，則 f(a－ 02+0)=a－ 02+0， 即 f(a)=a。 在上式中令 x= x0，有 f(x0)－ x20 + x0= x0。 若 x2=1，則有 f(x)－ x2 +x=1，即 f(x)= x2 –x+1。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。 （ 1）當(dāng)每輛車的月租金定為 3600 元時(shí)，能租出多少輛車？ （ 2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（ 1）當(dāng)每輛車的月租金定為 3600 元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為： 5030003600? =12，所以這時(shí)租出了 88 輛車。 例 9．（ 20xx 湖南 理 20） 對(duì) 1 個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度 (含污物體的清潔度定義為： ）物體質(zhì)量（含污物） 污物質(zhì)量?1為 ，要求清洗完后的清潔度為 。 (Ⅰ )分別求出方案甲以及 ?c 時(shí) 方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少； (Ⅱ )若采用 方案乙 , 當(dāng) a 為某固定值時(shí) , 如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小 ? 并討論 a 取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。 因?yàn)楫?dāng) 1 3 , 4 ( 4 ) 0 ,a x z a x z? ? ? ? ? ? ?時(shí) 即,故 方案乙的用水量較少。 251 3 , ( ) 1 0a T aa? ? ? ? ?時(shí), 故 T(a )是增函數(shù) (也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷 )。該題典型代表高考的方向。 根據(jù)題意，只須： ?????????????????,0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22xxfxxf 即 ????? ??? ??? .0122 ,032222xxxx 解得 2 312 71 ????? x 。 1． 求函數(shù)解析式的題型有： （ 1） 已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法 ； （ 2） 已知 ()fx求 [ ( )]f g x 或已知 [ ( )]f g x 求 ()fx：換元法、配湊法 ； （ 3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式； （ 4） ()fx滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除 ()fx外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法 ； （ 5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有 待定系數(shù)法等 。 ①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求 一次函數(shù) y=ax+b(a? 0)的定義域?yàn)?R，值域?yàn)?R； 反比例函數(shù) )0( ?? kxky的定義域?yàn)?{x|x? 0}，值域?yàn)?{y|y? 0}； 二次函數(shù) )0()( 2 ???? acbxaxxf 的定義域?yàn)?R， 當(dāng) a0 時(shí)，值域?yàn)?{a bacyy 4 )4(| 2??}； 當(dāng) a0 時(shí)，值域?yàn)?{a bacyy 4 )4(| 2??}