函數(shù)單調(diào)性教學與反思(存儲版)
【正文】 程的進行則有相當?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。學生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學生從已經(jīng)學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。在例題的講解中我注意培養(yǎng)學生回答問題的規(guī)范性。最后通過兩個例題的講解加強學生對概念的理解。數(shù)學新課標還提到：要注重提高學生的數(shù)學思維能力，即“在學生學習數(shù)學運用數(shù)學解決問題時，應經(jīng)歷直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等思維過程”。然后通過辨析、練習等幫助學生理解這一概念。學生已有的認知基礎是，初中學習過函數(shù)的概念，初步認識到函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關系的數(shù)學概念。）（三）深化概念例1 如圖6是定義在閉區(qū)間[5，5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù).(通過講解例1，讓學生學會通過觀察圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。)上是增函數(shù).(5)反過來，如果y=f(x)在(0,+ 165。（二）形成概念觀察引入演示動畫（1）函數(shù)y=2x+1隨自變量x 變化的情況（2）函數(shù)y=2x+1隨自變量x 變化的情況（設計意圖：由初中知識過度到今天要學的知識，對初中知識進行深化，激起學生新的認知沖突，從而調(diào)動學生積極性）步步深化演示動畫(3)函數(shù)y=x2隨自變量x 變化的情況，設置啟發(fā)式問題：(1)在y軸的右側(cè)部分圖象具有什么特點？(2)指出在y軸的右側(cè)部分自變量與函數(shù)值的變化規(guī)律？(3)如果在y軸右側(cè)部分取兩個點（x1，y1），（x2，y2），當x1(4)如何用數(shù)學符號語言來描述這個規(guī)律？教師補充：這時我們就說函數(shù)y=f(x)=x2在(0,+ 165。通過探索，培養(yǎng)學生的觀察能力和運動變化的觀點，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數(shù)形結合的思想，學生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學生的探索創(chuàng)新意識。函數(shù)單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間的概念掌握起來有一定困難，這樣會增加學生的負擔，不利于學生學習興趣的激發(fā)。進一步給出函數(shù)單調(diào)性的定義。對于函數(shù)單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．新課標明確指出：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，不僅把函數(shù)看成是變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想將貫穿高中數(shù)學課程的始終《函數(shù)的單調(diào)性》的課標教學要求，從結合實際問題出發(fā)，讓學生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的重要性，初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的間斷問題。通過動畫演示，讓學生觀察兩個點在運動的過程中橫、縱坐標之間的關系，并用抽象的數(shù)學符號語言來刻畫，即當x1f(x2)，給出增函數(shù)的定義，再通過類比給出減函數(shù)的定義，并對函數(shù)單調(diào)性作深入的討論。⑷ 本人認為在概念教學中多花一些時間是值得的，因為只有理解掌握了概念，才能更好地幫助學生落實“雙基”，更好地幫助學生認識數(shù)學，認識數(shù)學的思想和本質(zhì)，進一步地發(fā)展學生的思維，提高學生的解題能力。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學的難點。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學活動。為什么要用數(shù)學的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。(一)注意與初中內(nèi)容的銜接函數(shù)這章內(nèi)容是與初中數(shù)學最近的結合點，如果初中代數(shù)中的內(nèi)容沒有學習好或遺忘的過多，學習本章就有障。然后教會學學生如何用數(shù)學思維嚴格地論證函數(shù)的單調(diào)性。在教學過程中要注意培養(yǎng)學生繪制某些簡單函數(shù)圖象的技能，記住某些常見的函數(shù)圖象的草圖，養(yǎng)成利用函數(shù)圖象來說明函數(shù)的性質(zhì)和分析問題的習慣(三)注意與其他章內(nèi)容的聯(lián)系本章是在集合與簡易邏輯之后學習的，映射概念本身就屬于集合的知識。至此，引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。用數(shù)學符號描述這兩種數(shù)學意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學的符號來描述動態(tài)的數(shù)學對象。所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？從數(shù)學學科這個整體來看，數(shù)學的高度抽象性造成了數(shù)學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學的思考方式。第
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