【正文】 =（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C1x。注:特征方程可以寫為|AλE|=0重要結(jié)論：（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0慣性定理：二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積。行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n（滿秩陣）〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對(duì)任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等陣〈===〉r（AB）=r（B）A初等行變換 I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過渡矩陣等等。老師在教學(xué)中，也應(yīng)該以一些具體的實(shí)例入手來教學(xué)，如果脫離了實(shí)際應(yīng)用，只是講抽象的概念和式子，是很難明白的，并且有實(shí)例的對(duì)照，可以加深記憶理論知識(shí)。當(dāng)然，若果能通過改革，增加課時(shí)是最好不過了。在線性方程組的求解過程中，我們運(yùn)用了矩陣的行變換來求基礎(chǔ)解系，當(dāng)然這就相當(dāng)于求極大無關(guān)組。前面的知識(shí)是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關(guān)組，進(jìn)一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會(huì)影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等。很高興能在你的班上學(xué)習(xí)這門課，我想我會(huì)永遠(yuǎn)記住您那一個(gè)個(gè)寧人忍俊不禁的冷笑話。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)也有一定的聯(lián)系。然后對(duì)于教材內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，我覺得應(yīng)該放在線性方程組這一塊，因?yàn)樗瞧渌麊栴}的引出點(diǎn)，不管是矩陣，行列式，還是矩陣的秩和向量空間，都是為線性方程組服務(wù)的。再就是線性代數(shù)的課時(shí)少，這是一個(gè)客觀存在的原因，所以更要精講?？v觀一年大學(xué)的學(xué)習(xí)和生活，特別是在線代的學(xué)習(xí)過程中，實(shí)在是感慨頗多。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。 對(duì)矩陣Amn 做一次初等變換相當(dāng)于在矩陣Amn 的左側(cè)乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)矩陣Amn 做一次初等列變換想到與在矩陣Amn 右側(cè)乘以相應(yīng)的n階初等矩陣?！铮?）正交變換法：通過正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi對(duì)應(yīng)即可。特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：|λEA|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式（λ的n次多項(xiàng)式）。（2）若n維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，β1，β2，β3可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無關(guān)。B）≤r（A）177。（二）重要行列式上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則n階（n≥2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明★對(duì)角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）展開按行展開定理：（1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0（四）行列式公式行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|三、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。線性代數(shù)中常見的證明題型有：證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，?αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2?，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質(zhì)，如對(duì)稱，可逆，正交，正定，可對(duì)角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs線性表出)；對(duì)給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規(guī)范形等。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 ?OλEA?O=0及（λEA）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡(jiǎn)單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。這其實(shí)就是一道最簡(jiǎn)單的線性代數(shù)題了，設(shè)x代表小雞，y代表公雞，z代表母雞：則根據(jù)題意有線性方程組x3+3y+5z=100x+y+z=100解此線性方程組得x=3z/4+75y=7z/4+25 z=z用z作為循環(huán)變量控制，這個(gè)程序不到十行就可以編出來。其實(shí)，就是學(xué)會(huì)如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的學(xué)習(xí)中心和重點(diǎn)。其實(shí)這一點(diǎn)和第一點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)。只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會(huì)有動(dòng)力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識(shí)有何作用，認(rèn)為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒有什么區(qū)別，或者認(rèn)為學(xué)習(xí)課本知識(shí)沒有多大的作用，就干脆不學(xué)（當(dāng)然我在這里沒有貶低任何人的意思）。這門課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：《線性代數(shù)》是物理系等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統(tǒng)知識(shí)，它一方面為后繼課程（如離散數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識(shí)；另一方面還對(duì)提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。本章知識(shí)要點(diǎn)如下： 1．特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法 就是記牢一系列公式如、和。3）若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解 對(duì)于一般矩陣 則有： 243。當(dāng) 時(shí)，的列向量組 線性相關(guān)，此時(shí)齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個(gè)線性無關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示。1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì)（其中 為矩陣 的特征值）。第一篇：線性代數(shù)總結(jié)線性代數(shù)總結(jié) [轉(zhuǎn)貼 20080504 13:04:49]字號(hào)：大 中 小線性代數(shù)總結(jié)一、課程特點(diǎn)特點(diǎn)一：知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（Ⅰ）矩陣形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就這樣被引入了。所以，經(jīng)過“秩 → 線性相關(guān)無關(guān) → 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。 243。向量組中沒有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”?？梢哉J(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足（對(duì)角矩陣）的話就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)而對(duì)角陣 的冪 就等于，代入上式即得。我們應(yīng)該總結(jié)一下這門課程的學(xué)習(xí)的方法，并能為我們以后的學(xué)習(xí)和工作提供方法。我認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何一門知識(shí)的方法是：一、明確我們要學(xué)習(xí)什么知識(shí)或者要掌握哪些方面的技能。三、要知到我們學(xué)的知識(shí)可以用到何處，或者能幫我們解決什么問題。如在我們學(xué)習(xí)正交矩陣這個(gè)概念后，我們得要學(xué)會(huì)如何去求正交矩陣；再如，當(dāng)我們認(rèn)識(shí)了矩陣的對(duì)角化定義之后，我們得掌握如何去將一個(gè)矩陣對(duì)角化。母雞5元錢一只，公雞3元錢一只，小雞3只一元，并且母雞、公雞、小雞的總數(shù)為一百只，求有多少種可能。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。關(guān)于特征值、特征向量。又如，實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC＝B，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P1AP＝B成立，進(jìn)而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí)，并不能保證特征值相同，因此，實(shí)對(duì)稱矩陣A～BAB，即相似是合同的充分條件。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式（數(shù)字型、字母型）的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形）。（6）兩行成比例，行列式的值為0。秩的性質(zhì)：（7條）（1）A為mn階矩陣，則r（A）≤min（m,n）（2）r（A177。（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡(jiǎn)形|系數(shù)）行最簡(jiǎn)形：每行第一個(gè)非0的數(shù)為1，其余元素均為0（三）線性相關(guān)和線性無關(guān)線性相關(guān)注意事項(xiàng)：（1）α線性相關(guān)←→α=0（2）α1，α2線性相關(guān)←→α1，α2成比例線性相關(guān)的充要條件：向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)（1）←→有個(gè)向量可由其余向量線性表示；（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于個(gè)數(shù)特別地，n個(gè)n維列向量α1，α2，…，αn線性相關(guān)（1）←→r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn|=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆線性相關(guān)的充分條件：（1）向量組含有零向量或成比例的