【正文】 角形，可能有三種情形： （ I）當(dāng) DM=DO 時(shí)，如答圖 ①所示． DO=DM=DA=2， ∴∠ OAC=∠ AMD=45176。 ∴∠ EBD=45176。 A（ 1， 0）， B（ 0， 2），拋物線 y= x2+bx﹣ 2 的圖象過(guò) C 點(diǎn)． （ 1）求拋物線的解析 式； （ 2）平移該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸所在直線 l．當(dāng) l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將 △ ABC 的面積分為相等的兩部分？ （ 3）點(diǎn) P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn) P，使四邊形 PACB 為平行四邊形？若存在，求出 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專(zhuān)題 ： 壓軸題． 分析： 如解答圖所示： （ 1）首先構(gòu)造全等三角形 △ AOB≌△ CDA，求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn) C 的坐標(biāo)求出拋物線的解析式； （ 2）首先求出直線 BC 與 AC 的解析式，設(shè)直線 l與 BC、 AC 交于點(diǎn) E、 F，則可求出 EF 的表達(dá)式；根據(jù)S△ CEF= S△ ABC，列出方程求出直線 l的解析式； （ 3）首先作出 ?PACB，然后證明點(diǎn) P 在拋物線上即可． 解答： 解：（ 1）如答圖 1 所示，過(guò)點(diǎn) C 作 CD⊥ x 軸于點(diǎn) D，則 ∠ CAD+∠ ACD=90176。 OA= ，若以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA 所在直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn) B 在第一象限內(nèi) ，將 Rt△ OAB 沿 OB 折疊后，點(diǎn) A 落在第一象限內(nèi)的點(diǎn) C 處． （ 1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn) O， C， A 三點(diǎn)的拋物線的解析式． （ 2）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與線段 OB 交點(diǎn) D 的坐標(biāo)． （ 3）線段 OB 與拋物線交與點(diǎn) E，點(diǎn) P 為線段 OE 上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) O，點(diǎn) E 重合），過(guò) P 點(diǎn)作 y 軸的平行線，交拋物線于點(diǎn) M，問(wèn)：在線段 OE 上是否存在這樣的點(diǎn) P，使得 PD=CM？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專(zhuān)題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）在 Rt△ AOB 中，根據(jù) AO 的長(zhǎng)和 ∠ BOA 的度數(shù)，可求 得 OB 的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到 OA=OC，且 ∠ BOC=∠ BOA=30176。 ∴ ON= t， ∴ P（ t， t）； 作 PQ⊥ CD，垂足為 Q， MF⊥ CD，垂足為 F； 把 x= t 代入 y=﹣ x2+2 x， 得 y=﹣ 3t2+6t， ∴ M（ t，﹣ 3t2+6t）， F（ ，﹣ 3t2+6t）， 同理： Q（ ， t）， D（ ， 1）； 要使 PD=CM，只需 CF=QD， 即 3﹣（﹣ 3t2+6t） =|t﹣ 1|， 解得 t= ， t=1（舍）， t= ， ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），或（ ， ）， ∴ 存在滿足條件的 P 點(diǎn)，使得 PD=CM，此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定等重要知識(shí)點(diǎn)，表示出 P 點(diǎn)坐標(biāo)利用 CF=QD 求出是解題關(guān)鍵． 18．（ 2021?臨沂）如圖，拋物線經(jīng)過(guò) A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點(diǎn)． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn) P，使 PA+PC 的值最小，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）點(diǎn) M 為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn) N，使以 A， C， M， N 四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形 ？若存在，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專(zhuān)題 ： 壓軸題；探究型． 分析： （ 1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c（ a≠0），再把 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點(diǎn)代入求出 a、 b、 c 的值即可； （ 2）因?yàn)辄c(diǎn) A 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 5， 0），連接 BC 交對(duì)稱(chēng)軸直線于點(diǎn) P，求出 P 點(diǎn)坐標(biāo)即可； （ 3）分點(diǎn) N 在 x 軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論． 解答： 解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c（ a≠0）， ∵ A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點(diǎn)在拋物線上， ∴ ， 解得 ． ∴ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ 2x﹣ ； （ 2） ∵ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ 2x﹣ ， ∴ 其對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=﹣ =﹣ =2， 連接 BC，如圖 1 所示， ∵ B（ 5， 0）， C（ 0，﹣ ）， ∴ 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b（ k≠0）， ∴ ， 解得 ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y= x﹣ ， 當(dāng) x=2 時(shí)， y=1﹣ =﹣ ， ∴ P（ 2，﹣ ）； （ 3）存在． 如圖 2 所示， ①當(dāng)點(diǎn) N 在 x 軸下方時(shí)， ∵ 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=2， C（ 0，﹣ ）， ∴ N1（ 4，﹣ ）； ②當(dāng)點(diǎn) N 在 x 軸上方時(shí)， 如圖，過(guò)點(diǎn) N2作 ND⊥ x 軸于點(diǎn) D， 在 △ AN2D 與 △ M2CO 中， ∴△ AN2D≌△ M2CO（ ASA）， ∴ N2D=OC= ，即 N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ． ∴ x2﹣ 2x﹣ = ， 解得 x=2+ 或 x=2﹣ ， ∴ N2（ 2+ ， ）， N3（ 2﹣ ， ）． 綜上所述，符合條件的點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ 4，﹣ ），（ 2+ ， ）或（ 2﹣ ， ）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識(shí)，在解答（ 3）時(shí) 要注意進(jìn)行分類(lèi)討論． 19．（ 2021?汕頭）已知二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1． （ 1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O（ 0， 0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式； （ 2）如圖，當(dāng) m=2 時(shí)，該拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 D，求 C、 D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下， x 軸上是否存在一點(diǎn) P，使得 PC+PD 最短？若 P 點(diǎn)存在，求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若 P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 分析： （ 1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O（ 0， 0），直接代入求出 m 的值即可； （ 2）根據(jù) m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與 y 軸交點(diǎn)即可； （ 3）根據(jù)當(dāng) P、 C、 D 共線時(shí) PC+PD 最短，利用平行線分線段成比例定理得出 PO的長(zhǎng)即可得出答案． 解答： 解：（ 1） ∵ 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O（ 0， 0）， ∴ 代入二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1，得出： m2﹣ 1=0， 解得： m=177。 BC 邊上的高 AC= ． ∵ S= BC?h， ∴ h= = = S． 如果 S=1，那么 h= 1= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 如果 S=2，那么 h= 2= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 如果 S=3，那么 h= 3= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 如果 S=4，那么 h= 4= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 即當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0 時(shí)，滿足條 件的 △ PBC 共有 4 個(gè)； （ Ⅱ ）當(dāng) 0＜ x＜ 4 時(shí)， S=﹣ x2+4x． 如果 S=1，那么﹣ x2+4x=1，即 x2﹣ 4x+1=0， ∵△ =16﹣ 4=12＞ 0， ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 2 個(gè)， △ PBC 有 2 個(gè)； 如果 S=2，那么﹣ x2+4x=2，即 x2﹣ 4x+2=0， ∵△ =16﹣ 8=8＞ 0， ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 2 個(gè)， △ PBC 有 2 個(gè)； 如果 S=3，那么﹣ x2+4x=3，即 x2﹣ 4x+3=0， ∵△ =16﹣ 12=4＞ 0， ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 2 個(gè)， △ PBC 有 2 個(gè)； 如果 S=4，那么﹣ x2+4x=4，即 x2﹣ 4x+4=0， ∵△ =16﹣ 16=0， ∴ 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 即當(dāng) 0＜ x＜ 4 時(shí)，滿足條件的 △ PBC 共有 7 個(gè)； 綜上可知，滿足條件的 △ PBC 共有 4+7=11 個(gè)． 故答案為 +c，﹣ 2c； 11． 點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線平移的規(guī)律，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及 方程思想是解題的關(guān)鍵． 13．（ 2021?攀枝花）如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（﹣ 3， 0）， B（ ）， C（ 0，﹣ 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè) △ PAC 的面積為 S，求 S 的最大值并求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D， DE⊥ x 軸于點(diǎn) E，在 y 軸上是否存在點(diǎn) M，使得 △ ADM 是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專(zhuān)題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)， 利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交 AC 于點(diǎn) N，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，x2+2x﹣ 3），根據(jù) AC 的解析式表示出點(diǎn) N 的坐標(biāo)，再根據(jù) S△ PAC=S△ PAN+S△ PCN就可以表示出 △ PAC 的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論； （ 3）分三種情況進(jìn)行討論： ①以 A 為直角頂點(diǎn)； ②以 D 為直角頂點(diǎn)； ③以 M 為直角頂點(diǎn)；設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出 t 的值即可． 解答： 解：（ 1）由于拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0） ，可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（ x+3）（ x﹣ 1）， 將 C 點(diǎn)坐標(biāo)（ 0，﹣ 3）代入，得： a（ 0+3）（ 0﹣ 1） =﹣ 3，解得 a=1， 則 y=（ x+3）（ x﹣ 1） =x2+2x﹣ 3， 所以拋物線的解析式為： y=x2+2x﹣ 3； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交 AC 于點(diǎn) N． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+m，由題意，得 ，解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為： y=﹣ x﹣ 3． 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3），則點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ x，﹣ x﹣ 3）， ∴ PN=PE﹣ NE=﹣（ x2+2x﹣ 3） +（﹣ x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x． ∵ S△ PAC=S△ PAN+S△ PCN， ∴ S= PN?OA = 3（﹣ x2﹣ 3x） =﹣ （ x+ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， S 有最大值 ，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）； （ 3）在 y 軸上是存在點(diǎn) M，能夠使得 △ ADM 是直角三角形．理由如下： ∵ y=x2+2x﹣ 3=y=（ x+1） 2﹣ 4， ∴ 頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 4）， ∵ A（﹣ 3， 0）， ∴ AD2=（﹣ 1+3） 2+（﹣ 4﹣ 0） 2=20． 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， t），分三種情況進(jìn)行討論： ①當(dāng) A 為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖 3①， 由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即 （ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2+20=（ 0+1） 2+（ t+4） 2， 解得 t= ， 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， ）； ②當(dāng) D 為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖 3②， 由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2，即（ 0+1） 2+（ t+4） 2+20=（ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2， 解得 t=﹣ ， 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ ）； ③當(dāng) M 為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖 3③， 由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2+（ 0+1） 2+（ t+4） 2=20， 解得 t=﹣ 1 或﹣ 3， 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 1）或（ 0，﹣ 3）； 綜上可知，在 y 軸 上存在點(diǎn) M，能夠使得 △ ADM 是直角三角形，此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， ）或（ 0，﹣ ）或（ 0，﹣ 1）或（ 0，﹣ 3）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，勾股定理等知識(shí)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵． 14．（ 2021?