新人教a版高中數(shù)學選修4-5用數(shù)學歸納法證明不等式2篇(存儲版)
【正文】 +1) =(1+x)k(1x)(1xk+1), ∵ x0且 x≠1, ∴ 1x與 1xk+1同號 . ∴ （ 1+x） k(1+ 121?k )= 21 ( 12 112 ??? kk ). 現(xiàn) 在 關(guān) 鍵 證21 ( 12 112 ??? kk ) 1)1(221 ??k ,直接證較繁 ,下面用分析法證之 . 欲 證21（12 112 ??? kk） 1)1(221 ??k,即證 3212 112 ????? kkk,只需證 2k+1+121?k+22k+3,即121?k，故當 n=k+1時，原不等式成立 . 綜上，當 n為大于 1的自然數(shù)時，原不等式成立 . 溫馨提示 用數(shù)學歸納法證明不等式時，從 P(k)到 P(k+1)的過渡往往用到不等式的傳 遞性，即要證 n=k+1時不等式成立〔不妨用 A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需 n=k時， A（ k） ≥B(k)成立 ,然后有 A（ k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 類題演練 2 在數(shù)列 {an}中， |an|2,且 an+1an2an+1+2an0, 求證： an n2? (n∈ N). 證明： ∵ |an|2, ∴ 2an2.∴ 2an0. 由題設(shè) an+1(2an)2an,則 an+1nnaa?22 . 1176。( 12 1?k ) 1221 ?k （ 1+21 +…+ k1 ） +1≥k2+21 k+(k+1)(1+21 +…+ k1 )+1， ∵ 1+21 +…+ k1 ≥1+21 , ∴ 左邊 ≥k2+21 k+(k+1)(1+21 )+1 =k2+2k+1+23 ≥k2+2k+1=(k+1)2. ∴ n=k+1時命題正確 . 綜合（ 1）、（ 2） ,知 n為一切自然數(shù)時命題正確 . 初看 “證明 ”天衣無縫，仔細推敲便會發(fā)現(xiàn) “證明 ”中的 “奠基 ”只是不中用的拉郎配 .歸納步的證明用了結(jié)論 “1+21 +…+ k1 ≥1+21 ”,此結(jié)論成立的前提條件是 k≥2,即 歸納步建立的自動遞推機制只能在 n≥2(n∈ N)的范圍內(nèi)行使遞推職能，其得以起動的初始條件是 n=2時命題正確 .因此數(shù)學歸納法的奠基應(yīng)是 n=2時命題正確的驗證， n=1時的驗證只是對命題的補充證明，并非為奠
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