新人教a版高中數學（選修4-5）《用數學歸納法證明不等式》2篇(文件)
【正文】 得出結論：1+ ??22 3121…+112)1( 1 2 ???? nnn. 這個不等式成立嗎？如何證明呢？ 知識網絡 證明不等式是 數學歸納法的重要應用之一，在利用數學歸納法證明不等式時，要注意利用不等式的傳遞性 .證明不等式的其他常用方法 ,如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等也是證明 P(k+1)成立的基本方法 .〔這里的 P(k+1)是 n=k+1時不等式成立〕 使用數學歸納法證明不等式時除了以上方法外，還要注意發(fā)現或設法創(chuàng)設歸納假設與n=k+1時命題之間的聯系，充分利用這樣的聯系來證明 n=k+1時命題成立 . 課堂導學 三點剖析 一、利用數學歸納法證明不等式的技巧（一） 【例 1】 對于 n∈ N,證明 13 12111 ?????? nnn ?1. 證明：當 n=1時，左邊 =1213 1=右邊； 設 n=k時，有 13 12111 ?????? kkk ?1。(1+ 121?k )= 21 ( 12 112 ??? kk ). 現 在 關 鍵 證21 ( 12 112 ??? kk ) 1)1(221 ??k ,直接證較繁 ,下面用分析法證之 . 欲 證21（12 112 ??? kk） 1)1(221 ??k,即證 3212 112 ????? kkk,只需證 2k+1+121?k+22k+3,即121?k，故當 n=k+1時，原不等式成立 . 綜上，當 n為大于 1的自然數時，原不等式成立 . 溫馨提示 用數學歸納法證明不等式時，從 P(k)到 P(k+1)的過渡往往用到不等式的傳 遞性，即要證 n=k+1時不等式成立〔不妨用 A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需 n=k時， A（ k） ≥B(k)成立 ,然后有 A（ k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 類題演練 2 在數列 {an}中， |an|2,且 an+1an2an+1+2an0, 求證： an n2? (n∈ N). 證明： ∵ |an|2, ∴ 2an2.∴ 2an0. 由題設 an+1(2an)2an,則 an+1nnaa?22 . 1176。（ 1+ 21 +…+ n1 ） ≥n2. 證明：
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