初等模型數(shù)學(xué)模型(第三版)電子課件姜啟源、謝金星、葉俊編制(存儲版)
【正文】 獨(dú)行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少 P?P180。 背景 以雙方 (戰(zhàn)略 )核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。 問題分析 常識：剎車距離與車速有關(guān) 10英里 /小時 (?16公里 /小時 )車速下 2秒鐘行駛29英尺 (? 9米 ) 車身的平均長度 15英尺 (= ) “ 2秒準(zhǔn)則”與“ 10英里 /小時加一車身”規(guī)則不同 剎車距離 反應(yīng)時間 司機(jī)狀況 制動系統(tǒng) 靈活性 制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 … … 最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動。 模型中有待定參數(shù) , kvwr一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設(shè)計測量方法。 第 二 章 初等模型 公平的席位分配 錄像機(jī)計數(shù)器的用途 雙層玻璃窗的功效 汽車剎車距離 劃艇比賽的成績 實(shí)物交換 核軍備競賽 啟帆遠(yuǎn)航 量綱分析與無量綱化 公平的席位分配 系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （ %） 比例 結(jié)果 甲 103 乙 63 丙 34 總和 200 20 21席的分配 比例 結(jié)果 21 問題 三個系學(xué)生共 200名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表會議共 20席，按比例分配，三個系分別為 10， 6， 4席。 錄像機(jī)計數(shù)器的工作原理 主動輪 壓輪 0000 左輪盤 右輪盤 磁頭 計數(shù)器 錄像帶 錄像帶運(yùn)動方向 錄像帶運(yùn)動 右輪盤半徑增大 右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù) 錄像帶運(yùn)動速度是常數(shù) 計數(shù)器讀數(shù)增長變慢 問題分析 觀察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！ 模型假設(shè) ? 錄像帶的運(yùn)動速度是常數(shù) v ； ? 計數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn； ? 錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； ? 空右輪盤半徑記作 r ； ? 時間 t=0 時讀數(shù) n=0 . 建模目的 建立 時間 t與讀數(shù) n之間的關(guān)系 （設(shè) v,k,w ,r為已知參數(shù)） 模型建立 建立 t與 n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1. 右輪盤轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為 r+wi, m圈的總長度 等于錄像帶在時間 t內(nèi)移動的長度 vt, 所以 knm ?nvrknvwkt ?? 222 ??????mivtwir1)(2 ?2. 考察右輪盤面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過的長度，即 wvtrwknr ??? ])[(22?nvrknvwkt ?? 222 ??3. 考察 t到 t+dt錄像帶在 右輪盤纏繞的長度，有 vdtkdnwknr ?? ?2)(??模型建立 思 考 nvrknvwkt ?? 222 ??3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細(xì)推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。 ? 實(shí)現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “ 2秒準(zhǔn)則” ： ? 后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志 ， 而不管車速如何 判斷 “ 2秒準(zhǔn)則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣； 建立數(shù)學(xué)模型 ， 尋求更好的駕駛規(guī)則 。設(shè)交換前甲占有 X的數(shù)量為 x0, 乙占有 Y的數(shù)量為 y0, 作圖： 若不考慮雙方對 X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y) 都是一種交換方案：甲占有 (x,y) ，乙占有 (x0 x, y0 y) x y yo 0 xo ? ? 實(shí)物交換 x y yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的無差別曲線 分析與建模 如果甲占有 (x1,y1)與占有 (x2,y2)具有同樣的滿意程度，即 p1, p2對甲是無差別的， M N 將 所有與 p1, p2無差別的點(diǎn)連接起來，得到一條 無差別曲線 MN, 線上各點(diǎn)的滿意度相同 , 線的形狀反映對 X,Y的偏愛程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比 MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如 p3，在另一條無差別曲線 M1N1上。 ? 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。 ),( mm yxP ???（其它因素不變） 乙安全線 y=f(x)上移 模型解釋 平衡點(diǎn) P?P180。初速 v, 星球半徑 r, 表面重力加速度 g 研究火箭高度 x 隨時間 t 的變化規(guī)律 t=0 時 x=0, 火箭質(zhì)量 m1, 星球質(zhì)量 m2 牛頓第二定律，萬有引力定律 )0( ??? xgx?? grkm22 ?——3個獨(dú)立參數(shù) 用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個數(shù) [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT1, [g]=LT2 變量 x,t 和獨(dú)立參數(shù) r,v,g 的量綱 用 參數(shù) r,v,g的組合 ,分別構(gòu)造與 x,t具有相同 量綱的 xc, tc （特征尺度） —無量綱變量 tx , vrtrx cc /, ??如 ),。( ?txx ??為無量綱量 )/( 3 smrg ???? ?1） 2） 3）的共同點(diǎn) 只含 1個參數(shù) ——無量綱量 ? )。( ?txx?為無量綱量 rvttrxx /,/ ?? vxxrxgrx?????)0(,0)0()( 22??????????????1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx??? ??gvtgvx cc /,/2 ??3）令 ),。 1 t 2 ?? cos)cos1(21 tkv ?? ])21(cos41[ 222 tttk ??? ?v1最大 2),21(21cos12 ??? ????sstt備注 ? 只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型 ? 航行過程中終點(diǎn) B將不在正東方 記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)[1(1+2p/w)cos?]cos ? w=ks1, p=ks2 1/4cos ?1/2 模型求解 v1=k1 [w(1cos?)/2 pcos?]cos ? s1 s2 量綱分析與無量綱化 物理量的量綱 長度 l 的量綱記 L=[l] 質(zhì)量 m的量綱記 M=[m] 時間 t 的量綱記 T=[t] 動力學(xué)中基本量綱 L, M, T 速度 v 的量綱 [v]=LT1 導(dǎo)出量綱 221rmmkf ?加速度 a 的量綱 [a]=LT2 力 f 的量綱 [f]=LMT2 引力常數(shù) k 的量綱 [k] 對無量綱量 ?， [?]=1(=L0M0T0) 量綱齊次原則 =[f][l]2[m]2=L3M1T2 量綱齊次原則 等式兩端的量綱一致 量綱分析 ~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系 例：單擺運(yùn)動 )1(321 ???? glmt ?321 ][][][][ ??? glmt ?l mg m 求擺動周期 t 的表達(dá)式 設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式 ?1, ?2, ?3 為待定系數(shù)， ?為無量綱量 ?????????2/12/10321???glt ??(1)的量綱表達(dá)式 glt ?2?對比 3321 2 ???? ??? TLMT??????????12
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