【正文】 數(shù) ， 即方程組不封閉 。xxVV?? 等構成的附加項 ， 這些附加項構成了一個對稱的二階張量 ， 即 39。39。 39。22 ??? ?? （ ） 式（ ）左端是單位時間內通過垂直于 x軸的單位面積所傳遞的真實動量的平均值，右端第一項是同一時間內通過同一面積所傳遞的按時均速度計算的動量，第二項是由于 x方向 上速度脈動所傳遞的動量 。yV?39。 ???? ????39。 39。反過來，如果脈動由低速層向高速層發(fā)生，高速層被減速，因此這兩層流體在 x方向上各受到切應力的作用。yxVV?t?湍流正應力和湍流切應力統(tǒng)稱為雷諾應力 。 它和分子運動引起粘性應力的情況十分相似。 l從圖（ ）上可以看出， 層上的流體質點脈動到 y層時，其速度比 y層上的流體時均速度大 。 顯然第二個假設成立 ， 即 /xldV dy39。39。而沿物面的法線方向上，流速逐漸增加，到某一距離處，流速與外邊界速度近似相等。 顯然 ， 該阻力產(chǎn)生的根源是流體與物體表面之間的摩擦以及附面層分離引起的 。 同時它還使得理想流體的結論具有實際意義 。 *? 對于不可壓流體，上式可改寫為 *0 0(1 )xV dyV?? ??? () 根據(jù)以上的分析 ， 如果按理想流體設計的型面 ， 為了使相同質量流量的粘性流體能夠通過則物面應向外移動一個 的距離 。 由于附面層內的流速小于理想流體的流速 ， 因此附面層內流體的動量也會減小 。 文獻 [5]引用了米歇爾 （ Michel） 基于實驗提出的轉捩點位置 XT和相應的動量損失厚度之間的關系為 ** 2 .9 Te e xRR? ? （ a） 參考文獻 [6]給出了經(jīng)過改進的半經(jīng)驗公式 ** 0 . 4 3 51 . 7 1 8 TexeRR? ?60 . 3 1 0 2 0TeXR??只要速度分布光滑和表面光滑，上式提供了確定轉捩點位置的較好的方法。 由于在附面層中 ， 所以方程中帶有 Re ~1211~ 1 , ~ 1Re Re的項可以忽略。下面給出初始條件和附面層內外邊界上的邊界條件。2 2 39。這種方法的基本思想是使流動參數(shù)在總體上滿足附面層基本方程 。在附面層中取一微元控制體ABDCA，其中 AB和 CD是垂直于壁面的兩個控制面，相距為 dx，BD是壁面， AC是附面層外邊界。 CD和 BD上的作用力方向與 x方向相反 ， 1 dd d xdx?? ?? w??所以都帶有負號 。 0V w?*? **?0V*? **?xV ?w? ? xV? ?xV f x? w? 用積分法求解附面層時 ， 需要補充附面層內的速度分布 。 于是 ， 附面層外的流速 ， 且沿平板 。 由上式可見 ， 層流附面層厚度與 成正比 ， 與當?shù)乩字Z數(shù)的平方根成反比 。 于是 ， 速度分布為 0 1 2 20 , 2 ,VVa a a????? ? ? ?222xVVV y y?????? 或 （ ） 222xV yyV ??? ??需要補充的第二個關系式是牛頓內摩擦定律，它提供了 的關系式 w?02xwyV Vy? ? ? ????????????? （ ） 利用補充方程（ ）、（ ）和動量積分方程（ ），聯(lián)立求解即可得到附面層內所需要的有關結果。 假設平板的厚度無限薄 ， 平板長度為 1， 寬度為 b,下面用上節(jié)介紹的附面層積分法對其進行求解 ， 求解的內容有：速度近似分布；附面層厚度；切應力；摩擦阻力系數(shù)等 。 在式 （ ） 中 ， 一共有四個未知數(shù) 、 、 和 ， 其中 ， 未知數(shù) 是由理想流動計算獲得 ， 而 和 由 和 決定 ， 因此方程尚有三個未知量 、 和 。 AC面積在 x方向的投影面積大小為 。 ?圖 動量積分方程的推導 圖 給出了附面層內流體沿某一壁面的流動。221 ( ) ( )y y y y y y x y yxyV V V V V V V V VpVVt x y y x y x y??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 0yx VVxy?? ???? 雖然附面層微分方程比較有了很大的簡化 ， 但是要求解這一組偏微分方程 ， 其計算工作量仍然很大 ， 需要借助于計算機進行數(shù)值求解 。21 () xyx x x x x xxyVVV V V V V VpVVt x y x y x y???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?21xVpyR?? ??（ ） 39。 采用正交曲線坐標系 ， 并采用與上述同樣的分析方法 ， 考慮到物面的曲率半徑為 ， 經(jīng)數(shù)量及分析后 ， 得到曲線坐標系中的附面層方程為 x xyR0yx VVxy?? ????221x x x xxyV V V VpVVt x y x y??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?21xVpyR?? ??（ ） 由上式可以看出 ， 對于曲壁的情況 ， 由于壁面彎曲產(chǎn)生的離心力 ，使得橫向的壓強梯度不為零 ， 顯然這是由于壁面彎曲造成的 。 根據(jù)附面層流動的特點 ， 選取附面層外邊界速度 、 物體的特征長度 、 附面層厚度 及密度 為特征量 ， 對上式進行無量綱化 ， 即令 0V L? ?20 0 0 0 , , , , ,// Re / Reyxxy VVx y y t px y t V p VL L V V VLV??? ? ? ? ? ? ?（ ） 式中 ， 。一般地對于繞平板的流動， 經(jīng)過轉捩段 AB后，即 附面層轉變?yōu)橥牧鳌? 2 . 3 6 1 1 0 6 5 1 0 。因此它應等于以理想流體 流過 0, 0 V? , Vx?*? ? ?0, 0V? 距離上的質量流量 ， 即 *?*0 0 0 00 () xV V V d y?? ? ? ????所以得 （ ） *0 00(1 )xV dyV? ??????由此可見，在質量流量相等的條件下，猶如將理想流體的流動區(qū)域自物面向外移動了一個 的距離。 如果測量流體流過平板的附面層內沿 y方向的壓強梯度 ， 的確可以得到在附面層內壓強 p沿 y方向不變 ,即 。 粘性影響較大的另一種情況是流體在物體后面的部分 ， 通常要離開物體的表面 ， 即在物體后面形成所謂的尾跡區(qū) 。 2 xt dVldy??? l 1．附面層厚度及流動阻力 粘性是流體的重要屬性。39。其根據(jù)可用圖 。 這個距離 l l稱為 混合長度 ， 它是流體微團在湍流運動中的自由行程的平均值 。其基本思想是如果能夠找出湍流應力與其它流場參數(shù)之間的關系，即找到了這些物理量的補充關系式，就可以使方程組封閉。yxVV?39。式（ ）說明了這個力的變化量。39。(39。?圖 湍流應力分析 圖 湍流應力分析 由于在點 M處沿 y方向上有脈動速度 ， 則在單位時間內通過微元面 （ 垂直于 y軸 ） 上的單位面積流入的質量為 如圖 ， 這部分流體本身具有 x方向的速度 ， 因而隨之傳遞的 x方向上的動量為 ， 其時均值為 39。在單位時間內通過單位面積的動量為 ，其時均值為 1ds2xV?xxxx VVVV 39。39。 39。xyVV 將雷諾方程與粘性流體應力形式的動量方程進行比較，由式（ ）可以看出，在湍流的時均運動中，除了原有的粘性應力分量外，還多出了由脈動速度乘積的時均值 、 39。雷諾方程與 N— S方程在形式上是相同的 ， 只不過在粘性應力項中多出了附加的湍流應力項 。y y y y y y yx y zx y y y y zV V V V V V VpV V Vt x y z y x y zV V V V V Vx y z??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。 39。 )( 39。 0A B B A??39。 ) 0yyxx zzVVVV VVt x y z x y z???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?與瞬時值的連續(xù)方程相比，多出了三個脈動量乘積的導數(shù)的時均值。 )()yyxx zzyyxx zyyxx zzyx zVVVV VVt x y z t x y zVVVV VVt x y zVVVV Vt x yVV Vtzxyxyz???? ???????? ?????? ???? ??????? ????????? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??( 39。 )( 39。 39。 39。 39。 39。 39。 對于所有的流動進出口截面 ， 應給出每時刻截面上速度 、 壓力和溫度的分布 。 ??將式 () 代入到 () 中，并采用（ ）消去 ，得到內能形式的能量方程 ij??? V () ? (du pdt? ? ? ?) ( )k T q?? ? ? ? ? ? ?根據(jù)連續(xù)方程有 V () (p?? 1) ( )p d dpd t d t? ???? ? ?它表示單位時間內單位體積流體在壓強 p的作用下所作的膨脹（ 或壓縮 ） 功 。 ????NS方程為二階非線性偏微分方程組。 圖 x方向應力作用的表面力 。 本章內容構成了粘性流體流動的基本知識 。理論和實驗表明，對于氣體繞物體的流動，粘性影響主要在靠近物體表面的薄層內（稱為附面層）。 質量力是在某種外部場的作用下使得所有流體質量受到的力 ， 如重力 、 離心力 、 電磁力等等 。 將 ( ) ， () ， 代入 （ ） 最后得出對于無限小微元體的微分形式動量方程 ij? ij ji??? ij?ijdVRpdt? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 式中 為單位體積所受的質量力 R?用文字表示該方程的物理意義為 單位體積所受的質量力＋單位體積所受的壓力 ＋單位體積所受的粘性力＝密度 加速度 （ ） 將方程 （ ） 寫成分量式為 yxx x z x x x x xx x y zV V V VpR V V Vx x y z t x y z????? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） x y y y z y y y y yy x y zV V V VpR V V Vy x y z t x y z? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???yzxz z z z z z zz x y zV V V VpR V V Vz x y z t x y z?? ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） （ ） 對于無粘流動 因此方程 （ ） 變成 0ij? ?dVRpdt??? ? ?（ ) 式 （ ） 即為描述理想流動的歐拉方程 (Euler’s equation)。 類似于 ， 由式 （ ） 同樣可以針對微元控制體列出能量方程 (V （一）初始條件 在初始時刻 ， 方程組的解應該等于該時刻給定的函數(shù)值 。 研究表明 ， 雖然湍流運動十分復雜 ， 但是它仍然遵循連續(xù)介質運動的特征和一般力學規(guī)律 ， 因此 ， 雷諾提出用時均值概念來研究湍流運動的方法 ， 導出了以時間平均速度場為基礎的雷諾時均 N— S方程 。 A（ 2）脈動量的時均值等于零，即 39。 0TTA