【正文】 數(shù) ， 即方程組不封閉 。xxVV?? 等構(gòu)成的附加項 ， 這些附加項構(gòu)成了一個對稱的二階張量 ， 即 39。39。 39。22 ??? ?? （ ） 式（ ）左端是單位時間內(nèi)通過垂直于 x軸的單位面積所傳遞的真實動量的平均值，右端第一項是同一時間內(nèi)通過同一面積所傳遞的按時均速度計算的動量，第二項是由于 x方向 上速度脈動所傳遞的動量 。yV?39。 ???? ????39。 39。反過來，如果脈動由低速層向高速層發(fā)生，高速層被減速，因此這兩層流體在 x方向上各受到切應(yīng)力的作用。yxVV?t?湍流正應(yīng)力和湍流切應(yīng)力統(tǒng)稱為雷諾應(yīng)力 。 它和分子運動引起粘性應(yīng)力的情況十分相似。 l從圖（ ）上可以看出， 層上的流體質(zhì)點脈動到 y層時，其速度比 y層上的流體時均速度大 。 顯然第二個假設(shè)成立 ， 即 /xldV dy39。39。而沿物面的法線方向上，流速逐漸增加，到某一距離處，流速與外邊界速度近似相等。 顯然 ， 該阻力產(chǎn)生的根源是流體與物體表面之間的摩擦以及附面層分離引起的 。 同時它還使得理想流體的結(jié)論具有實際意義 。 *? 對于不可壓流體，上式可改寫為 *0 0(1 )xV dyV?? ??? () 根據(jù)以上的分析 ， 如果按理想流體設(shè)計的型面 ， 為了使相同質(zhì)量流量的粘性流體能夠通過則物面應(yīng)向外移動一個 的距離 。 由于附面層內(nèi)的流速小于理想流體的流速 ， 因此附面層內(nèi)流體的動量也會減小 。 文獻 [5]引用了米歇爾 （ Michel） 基于實驗提出的轉(zhuǎn)捩點位置 XT和相應(yīng)的動量損失厚度之間的關(guān)系為 ** 2 .9 Te e xRR? ? （ a） 參考文獻 [6]給出了經(jīng)過改進的半經(jīng)驗公式 ** 0 . 4 3 51 . 7 1 8 TexeRR? ?60 . 3 1 0 2 0TeXR??只要速度分布光滑和表面光滑，上式提供了確定轉(zhuǎn)捩點位置的較好的方法。 由于在附面層中 ， 所以方程中帶有 Re ~1211~ 1 , ~ 1Re Re的項可以忽略。下面給出初始條件和附面層內(nèi)外邊界上的邊界條件。2 2 39。這種方法的基本思想是使流動參數(shù)在總體上滿足附面層基本方程 。在附面層中取一微元控制體ABDCA，其中 AB和 CD是垂直于壁面的兩個控制面，相距為 dx，BD是壁面， AC是附面層外邊界。 CD和 BD上的作用力方向與 x方向相反 ， 1 dd d xdx?? ?? w??所以都帶有負(fù)號 。 0V w?*? **?0V*? **?xV ?w? ? xV? ?xV f x? w? 用積分法求解附面層時 ， 需要補充附面層內(nèi)的速度分布 。 于是 ， 附面層外的流速 ， 且沿平板 。 由上式可見 ， 層流附面層厚度與 成正比 ， 與當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)的平方根成反比 。 于是 ， 速度分布為 0 1 2 20 , 2 ,VVa a a????? ? ? ?222xVVV y y?????? 或 （ ） 222xV yyV ??? ??需要補充的第二個關(guān)系式是牛頓內(nèi)摩擦定律，它提供了 的關(guān)系式 w?02xwyV Vy? ? ? ????????????? （ ） 利用補充方程（ ）、（ ）和動量積分方程（ ），聯(lián)立求解即可得到附面層內(nèi)所需要的有關(guān)結(jié)果。 假設(shè)平板的厚度無限薄 ， 平板長度為 1， 寬度為 b,下面用上節(jié)介紹的附面層積分法對其進行求解 ， 求解的內(nèi)容有：速度近似分布；附面層厚度；切應(yīng)力；摩擦阻力系數(shù)等 。 在式 （ ） 中 ， 一共有四個未知數(shù) 、 、 和 ， 其中 ， 未知數(shù) 是由理想流動計算獲得 ， 而 和 由 和 決定 ， 因此方程尚有三個未知量 、 和 。 AC面積在 x方向的投影面積大小為 。 ?圖 動量積分方程的推導(dǎo) 圖 給出了附面層內(nèi)流體沿某一壁面的流動。221 ( ) ( )y y y y y y x y yxyV V V V V V V V VpVVt x y y x y x y??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 0yx VVxy?? ???? 雖然附面層微分方程比較有了很大的簡化 ， 但是要求解這一組偏微分方程 ， 其計算工作量仍然很大 ， 需要借助于計算機進行數(shù)值求解 。21 () xyx x x x x xxyVVV V V V V VpVVt x y x y x y???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?21xVpyR?? ??（ ） 39。 采用正交曲線坐標(biāo)系 ， 并采用與上述同樣的分析方法 ， 考慮到物面的曲率半徑為 ， 經(jīng)數(shù)量及分析后 ， 得到曲線坐標(biāo)系中的附面層方程為 x xyR0yx VVxy?? ????221x x x xxyV V V VpVVt x y x y??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?21xVpyR?? ??（ ） 由上式可以看出 ， 對于曲壁的情況 ， 由于壁面彎曲產(chǎn)生的離心力 ，使得橫向的壓強梯度不為零 ， 顯然這是由于壁面彎曲造成的 。 根據(jù)附面層流動的特點 ， 選取附面層外邊界速度 、 物體的特征長度 、 附面層厚度 及密度 為特征量 ， 對上式進行無量綱化 ， 即令 0V L? ?20 0 0 0 , , , , ,// Re / Reyxxy VVx y y t px y t V p VL L V V VLV??? ? ? ? ? ? ?（ ） 式中 ， 。一般地對于繞平板的流動， 經(jīng)過轉(zhuǎn)捩段 AB后，即 附面層轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳌? 2 . 3 6 1 1 0 6 5 1 0 。因此它應(yīng)等于以理想流體 流過 0, 0 V? , Vx?*? ? ?0, 0V? 距離上的質(zhì)量流量 ， 即 *?*0 0 0 00 () xV V V d y?? ? ? ????所以得 （ ） *0 00(1 )xV dyV? ??????由此可見，在質(zhì)量流量相等的條件下，猶如將理想流體的流動區(qū)域自物面向外移動了一個 的距離。 如果測量流體流過平板的附面層內(nèi)沿 y方向的壓強梯度 ， 的確可以得到在附面層內(nèi)壓強 p沿 y方向不變 ,即 。 粘性影響較大的另一種情況是流體在物體后面的部分 ， 通常要離開物體的表面 ， 即在物體后面形成所謂的尾跡區(qū) 。 2 xt dVldy??? l 1．附面層厚度及流動阻力 粘性是流體的重要屬性。39。其根據(jù)可用圖 。 這個距離 l l稱為 混合長度 ， 它是流體微團在湍流運動中的自由行程的平均值 。其基本思想是如果能夠找出湍流應(yīng)力與其它流場參數(shù)之間的關(guān)系，即找到了這些物理量的補充關(guān)系式，就可以使方程組封閉。yxVV?39。式（ ）說明了這個力的變化量。39。(39。?圖 湍流應(yīng)力分析 圖 湍流應(yīng)力分析 由于在點 M處沿 y方向上有脈動速度 ， 則在單位時間內(nèi)通過微元面 （ 垂直于 y軸 ） 上的單位面積流入的質(zhì)量為 如圖 ， 這部分流體本身具有 x方向的速度 ， 因而隨之傳遞的 x方向上的動量為 ， 其時均值為 39。在單位時間內(nèi)通過單位面積的動量為 ，其時均值為 1ds2xV?xxxx VVVV 39。39。 39。xyVV 將雷諾方程與粘性流體應(yīng)力形式的動量方程進行比較，由式（ ）可以看出，在湍流的時均運動中，除了原有的粘性應(yīng)力分量外，還多出了由脈動速度乘積的時均值 、 39。雷諾方程與 N— S方程在形式上是相同的 ， 只不過在粘性應(yīng)力項中多出了附加的湍流應(yīng)力項 。y y y y y y yx y zx y y y y zV V V V V V VpV V Vt x y z y x y zV V V V V Vx y z??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。 39。 )( 39。 0A B B A??39。 ) 0yyxx zzVVVV VVt x y z x y z???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?與瞬時值的連續(xù)方程相比，多出了三個脈動量乘積的導(dǎo)數(shù)的時均值。 )()yyxx zzyyxx zyyxx zzyx zVVVV VVt x y z t x y zVVVV VVt x y zVVVV Vt x yVV Vtzxyxyz???? ???????? ?????? ???? ??????? ????????? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??( 39。 )( 39。 39。 39。 39。 39。 39。 對于所有的流動進出口截面 ， 應(yīng)給出每時刻截面上速度 、 壓力和溫度的分布 。 ??將式 () 代入到 () 中，并采用（ ）消去 ，得到內(nèi)能形式的能量方程 ij??? V () ? (du pdt? ? ? ?) ( )k T q?? ? ? ? ? ? ?根據(jù)連續(xù)方程有 V () (p?? 1) ( )p d dpd t d t? ???? ? ?它表示單位時間內(nèi)單位體積流體在壓強 p的作用下所作的膨脹（ 或壓縮 ） 功 。 ????NS方程為二階非線性偏微分方程組。 圖 x方向應(yīng)力作用的表面力 。 本章內(nèi)容構(gòu)成了粘性流體流動的基本知識 。理論和實驗表明，對于氣體繞物體的流動，粘性影響主要在靠近物體表面的薄層內(nèi)（稱為附面層）。 質(zhì)量力是在某種外部場的作用下使得所有流體質(zhì)量受到的力 ， 如重力 、 離心力 、 電磁力等等 。 將 ( ) ， () ， 代入 （ ） 最后得出對于無限小微元體的微分形式動量方程 ij? ij ji??? ij?ijdVRpdt? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 式中 為單位體積所受的質(zhì)量力 R?用文字表示該方程的物理意義為 單位體積所受的質(zhì)量力＋單位體積所受的壓力 ＋單位體積所受的粘性力＝密度 加速度 （ ） 將方程 （ ） 寫成分量式為 yxx x z x x x x xx x y zV V V VpR V V Vx x y z t x y z????? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） x y y y z y y y y yy x y zV V V VpR V V Vy x y z t x y z? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???yzxz z z z z z zz x y zV V V VpR V V Vz x y z t x y z?? ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） （ ） 對于無粘流動 因此方程 （ ） 變成 0ij? ?dVRpdt??? ? ?（ ) 式 （ ） 即為描述理想流動的歐拉方程 (Euler’s equation)。 類似于 ， 由式 （ ） 同樣可以針對微元控制體列出能量方程 (V （一）初始條件 在初始時刻 ， 方程組的解應(yīng)該等于該時刻給定的函數(shù)值 。 研究表明 ， 雖然湍流運動十分復(fù)雜 ， 但是它仍然遵循連續(xù)介質(zhì)運動的特征和一般力學(xué)規(guī)律 ， 因此 ， 雷諾提出用時均值概念來研究湍流運動的方法 ， 導(dǎo)出了以時間平均速度場為基礎(chǔ)的雷諾時均 N— S方程 。 A（ 2）脈動量的時均值等于零，即 39。 0TTA