【正文】 ?? ??? ? ? ??? ??? ?通過上式可以看出 0，也就是說 耗散項永遠是正的，即粘性應力所做的功總是消耗機械能，使流體的內(nèi)能增加。 對于完全氣體 ， 由熱力學公式 ? 1()d s d u dTpd t d t d t ???? 11()d h d u d d ppd t d t d t d t??? ? ?() () 因此可以將式 () 寫成熵或焓的形式 ()dsT k T qdt??? ? ? ? ? ? ?()d h d p k T qd t d t??? ? ? ? ? ? ? ?() () 注意到 ， ， () ?vd u c d T? pd h c d T? , , ,vc k c o n s t?? ?式 () 和式 () 又可以寫成用溫度表示的能量方程 V () (vdTcpdt? ? ? ? ?2) k T q?? ? ? ? ?2pd T d pc k T qd t d t??? ? ? ? ? ?() 初始條件和邊界條件 通過上邊的推導 ， 我們得出了描述牛頓流體運動的微分方程組 ， 共 5個方程 ， 包括連續(xù)方程 （ 1個 ） ， 動量方程 （ 3個 ） ，能量方程 （ 1個 ） ， 而未知量有 6個 （ 以直角坐標為例 ， 柱坐標結(jié)果一樣 ） ， 因此方程并不封閉 ， 所以還要補充一個熱力學的關(guān)系式即 ， 完全氣體狀態(tài)方程 ?, , , , , ( )x y zV V V p u T?p R T?? () 這樣包括狀態(tài)方程在內(nèi) ， 基本方程組共有 6個方程 ， 構(gòu)成封閉的方程組 。 （一）初始條件 在初始時刻 ， 方程組的解應該等于該時刻給定的函數(shù)值 。 ?（二）邊界條件 在運動流體的邊界上 ， 方程組的解所應滿足的條件稱為邊界條件 。 對于不可滲漏的固體邊界速度為無滑移條件 、 溫度為無突躍條件 ， 即 Vfluid = Vwall， Tfluid = Twall () 如果固體邊界為可滲漏 ， 則邊界條件要根據(jù)具體情況來確定 。 對于流體繞流物體的問題 ， 進出口邊界變成了無窮遠邊界 ， 應給出無窮遠邊界條件 。 研究表明 ， 雖然湍流運動十分復雜 ， 但是它仍然遵循連續(xù)介質(zhì)運動的特征和一般力學規(guī)律 ， 因此 ， 雷諾提出用時均值概念來研究湍流運動的方法 ， 導出了以時間平均速度場為基礎的雷諾時均 N— S方程 。 之后 ， 人們引用時均值概念導出湍流基本方程 ， 使湍流運動的理論分析得到了很大的發(fā)展 。 A B C、 、39。 39。 A（ 2）脈動量的時均值等于零，即 39。 39。0AB ? () 因為 在平均周期內(nèi)是個定值 ， 所以有 A001139。 39。 0TTA B A B d t A B d t A BTT? ? ? ???（ 5） 時均物理量與瞬間物理量之積的時均值等于兩個時均 物理量之積 ， 即 AB AB? () 同樣在平均周期內(nèi) 是個定值，所以 A0011TTA B A B d t A B d t A BTT? ? ???（ 6）兩個瞬時物理量之積的時均值，等于兩個時均物理量之積與兩個脈動量之積的時均值之和，即 39。A B A B A B?? () 0 0 00 0 01 1 1( 39。) ( 39。 39。)1139。 39。 39。T T TT T TA B A B d t A A B B d t A B A B B A A B d tT T TA B B A d t A B d t A B d t A BTTAB? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?推論 : () 39。 39。 39。 39。 39。 s ,x y z推論：脈動量對空間坐標各階導數(shù)的時均值等于零 ， 即 39。 在湍流運動中 ， 瞬時運動的速度應滿足粘性流體的基本方程 。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 對于不可壓縮湍流運動 ， ， 則連續(xù)方程可化為 ,0Ct?? ????0yx zVV Vx y z?? ?? ? ?? ? ? () 并可得到 () 39。 39。 對于不可壓縮粘性流動，在不考慮質(zhì)量力的情況下， N— S方程具有下列形式 2222 2 22222 2 22222 2 21()1)1(()x x x xx y zy y y y y y yx y zz z z z z z zxxxyzxVVVV V V V pV V Vt x y z xV V V V V V VpV V Vt x y z y x y zV V V V V V VpV V Vt x y z z xxzzyy???????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ? ?（ ） 利用不可壓流瞬時運動的連續(xù)方程 0yx zVV Vx y z?? ?? ? ?? ? ?可將式（ a）改寫成 2222 2 21 ()xyx x x x z x x xVVV V V V V V V Vpt x y z x x y z???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2222 2 21 ()y x y y y z y y y yV V V V V V V V V Vpt x y z y x y z??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2222 2 21 ()yzxzz z z z z zVVVVV V V V V Vpt x y z z x y z????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 然后對式（ ）中的第一式進行時間平均運算，則有 2222 2 21 ()xyx x x x z x x xVVV V V V V V V Vpt x y z x x y z???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 由于 ， 應用時均物理量與脈動物理量之積的時均值等于零的運算規(guī)則 ， 即 （ ） ， 可得 39。 0 , 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。39。 39。 39。 39。 39。 39。39。39。39。 將時均運動方程 （ ） 和 N— S方程 （ a） 相比可以看出 ， 湍流中的應力 ， 除了由于粘性所產(chǎn)生的應力外 ， 還有由于湍流脈動運動所形成的附加應力 ， 這些附加應力稱為 雷諾應力 。 以上導出的雷諾方程和連續(xù)方程中 ， 除過要求解的四個變量 、 、 和 外 ， 還有與脈動速度有關(guān)的如 、 等六個未知數(shù) 。 要使方程組封閉 ， 必須補充其它未知量的關(guān)系式才能夠進行求解 。39。39。39。39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 雷諾應力的物理意義可理解如下 在穩(wěn)定湍流中繞某點 M處取一微元六面體圖 ，考察過點M取與 x軸垂直的某微 元面 ，其面積為 。39。 根據(jù)動量定理 ， 通過 面有動量傳遞 ， 那么在 面上就有力的作用 。 對 面來說 ， 附加應力 與它垂直 ， 所以是法向應力 ， 因此稱之為 附加湍流正應力 。39。yV2ds 39。x x xV V V??39。39。)39。39。0yxVV? ?根據(jù)時均運算關(guān)系式， ，所以 xyxy VVVV 39。39。yV圖 y方向的速度脈動 ，而在單位時間內(nèi)通過單位面積上增加的 x方向上的動量的時均值 ， 即 39。39。 39。 39。1 yxy x y xyxVV VyV V V V yV???? ?? ??? ? ? ??????? ??（ ） 式（ ）表明，在單位時間內(nèi)通過垂直于 y方向的 面的單位面積所傳遞出去的 x方向動量為 ，因而該單位面積就受到一個沿 x方向的大小為 的作用力?？梢岳斫鉃椋寒斄黧w質(zhì)點由時均速度較高的流體層向時均速度較低的流體層脈動時由于脈動引起的動量傳遞，使低速層被加速。 是湍流中流體微團的脈動造成的，稱為 湍流切應力 ，記作 。39。39。39。 從雷諾方程可以看出 ， 由于湍流運動采用了時均方法 ， 在運動方程中出現(xiàn)了雷諾應力 ， 從而增加了方程中的未知量 ， 因此需要補充新的關(guān)系式才能求解 。 本節(jié)所討論的普朗特混合長度理論即是所謂的代數(shù)模型 （ 零方程模型 ） 。在許多問題中得到了較好的應用。為此普朗特把湍流脈動與氣體分子運動相比擬，認為雷諾應力是由流體微團的脈動 引起的。在定常層流直線運動中，由分子動量輸運而引起的粘性切應力 ，與此相對應，當湍流的時均流動的流線為直線時，認為脈動引起的雷諾切應力（湍流應力）也可以表示成上述類似的形式，即 /lxd V d y???dyVd xtt ?? ?（ ） 式中的 稱為湍流粘性系數(shù) 。 t?39。 ( )xxx x xd V d VV V l V ld y d y? ? ? ?這一假設的基礎是認為流體微團在 y方向脈動 ， 從這一層跳入另一層時 ， 要經(jīng)過一段與其他流體微團不相碰撞的距離 （ 參看圖 ） ， 在這段距離上速度保持不變 。 經(jīng)過 距離后 ， 流體微團以自己原來的動量進入另一層和周圍流體相摻混 。它引起 y層上流體速度有一個正的脈動，其值 。 )( ly??xV39。yV 和/xldV dy 成正比。兩層流體混合時，由 于上下兩層流體的速度差為 ， 因此兩流體質(zhì)點間相互作用從而引起橫向脈動 ， 速度為 。yV39。 39。xyVV、22200139。139。?????????????????????? ??dyVdCldtdyVdlCTdtVVTVVxT xyTxyxt ?????式中混合長度 尚未確定，因此可取 。39。為 t? l?標出符號，上式可寫成 dyVddyVddyVdl xtxxt ??? ??2 （ ） 式中 ， ， 混合長度 一般需要實驗確定 。根據(jù)流體粘性的特點，在靠近物體表面處，流體將粘附在物面上而流速為零，即滿足無滑移條件。我們定義靠近物體表面，存在較大速度梯度的薄層為附面層或邊界層。 在航空上 ， 有實際意義的問題大多屬于大雷諾數(shù)下的流動問題 。 氣流流過物體表面的距離越長 ， 附面層厚度也越大 ， 即附面層厚度隨氣流流過物體的距離而增加 。 由于粘性的作用較強 ， 粘性切應力作用較大 ，因而形成流動阻力 。 之外 ， 由于附面層脫離后的尾跡區(qū)中 ， 還會導致物體表面上產(chǎn)生流動方向的壓力差 ，因而形成所謂的 壓差阻力 。而空氣的粘性系數(shù)也很小，所以在附面層之外，可以忽略粘性的影響，而作為理想流動來處理。 ??2．附面層中沿物面的法向壓強保持近似不變 在附面層內(nèi) ， 除了速度梯度 很大外 ， 還有另外一個重要的特點 ， 對于物面曲率半徑比較大 ， 即物面不太彎曲的情況 ， 沿著其物面的法線方向流體壓強保持近似不變 。 該結(jié)論非常重要 ， 它可以使附面層運動方程大大簡化 。 當按理想流體理論計算附面層外邊界的壓強分布后 ，即可得到物面上對應點的壓強 。 *?δδ*ρ 0v 0ρ v x圖 附面層位移厚度 設物體上某點處的附面層厚度為 如圖 ， 垂直紙面方向為單位寬度 。這些減少的質(zhì)量流量要在主流中擠出 的距離才能流過去。它表示了由于粘性的作用，附面層內(nèi)流體質(zhì)量流量相對理想流體減小的程度。 *?位移厚度的概念 ， 對于流動方向要求嚴格的流道設計具有重要的意義 。 由于流通面積的復雜性 ， 精確的 的距離很難計算準確 ， 下面給出一種相對簡便的近似方法進行修正 ， 即 *?設附面層位移厚度取決于當?shù)伛R赫數(shù)和沿流動下游的距離，即假設位移厚度與流向距離成正比，則根據(jù)經(jīng)驗知位移厚度隨