【正文】 一 、 光滑平板湍流附面層 當(dāng)流動(dòng)雷諾數(shù)足夠大時(shí) ， 在靠近平板前緣一段是層流附面層 ，而靠近平板后一段是。 由上式可見 ， 層流附面層厚度與 成正比 ， 與當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)的平方根成反比 。 于是 ， 速度分布為 0 1 2 20 , 2 ,VVa a a????? ? ? ?222xVVV y y?????? 或 （ ） 222xV yyV ??? ??需要補(bǔ)充的第二個(gè)關(guān)系式是牛頓內(nèi)摩擦定律，它提供了 的關(guān)系式 w?02xwyV Vy? ? ? ????????????? （ ） 利用補(bǔ)充方程（ ）、（ ）和動(dòng)量積分方程（ ），聯(lián)立求解即可得到附面層內(nèi)所需要的有關(guān)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)證明 ， 取 ， 即可與實(shí)驗(yàn)得到的速度分布曲線吻合很好 ， 即 0 1 2,a a an3n?20 1 2xV a a y a y? ? ?式中的三個(gè)系數(shù)必須由三個(gè)邊界條件確定。 求速度分布的步驟為：首先假設(shè)速度分布為的冪函數(shù) ，即 230 1 2 3 . . nxnV a a y a y a y a y? ? ? ? ? ???式中的待定系數(shù) 是未知的 ， 它們必須由速度分布應(yīng)遵循的邊界條件確定 。 于是 ， 附面層外的流速 ， 且沿平板 。 假設(shè)平板的厚度無限薄 ， 平板長度為 1， 寬度為 b,下面用上節(jié)介紹的附面層積分法對(duì)其進(jìn)行求解 ， 求解的內(nèi)容有：速度近似分布；附面層厚度；切應(yīng)力；摩擦阻力系數(shù)等 。 在上述邊界條件中，無滑移條件（ ）和壓強(qiáng)梯度條件（ ）反映了物面及物面形狀對(duì)速度分布的影響 ，因此在附面層計(jì)算中，為了保證一定計(jì)算精度，應(yīng)滿足這些條件。 在附面層外邊界上 ， 粘性流可以近似地看作理想流體 ， 因此在外邊界上 ， 它們的速度和各階導(dǎo)數(shù)都相等 ， 即 時(shí) ， （ ） y ??0 , 0 ( n = 1 , 2 , 3 , )nxx nVVVy????在壁面上，應(yīng)滿足無滑移條件，即 時(shí) （ ） 0y? 0 , 0xyVV??如果將此條件用于附面層動(dòng)量積分方程 221x x xxyV V VdpVVx y d x y??? ? ?? ? ? ?? ? ?則可得到另一個(gè)邊界條件，即 時(shí) （ ） 0y? 20021 xV V d Vdpy d x d x??? ? ? ??再把動(dòng)量方程對(duì) y求導(dǎo)，有 2 2 323yx x x x xxyVV V V V VVVy x y y x y y????? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???根據(jù)連續(xù)方程和無滑移條件，又可得到一個(gè)邊界條件，即 時(shí) （ ） 0y? 33 0xVy? ??只要選定的速度分別滿足邊界條件 ， 則表明它在近物體表面和邊界層外部附近都和真實(shí)速度分布接近 。 0V w?*? **?0V*? **?xV ?w? ? xV? ?xV f x? w? 用積分法求解附面層時(shí) ， 需要補(bǔ)充附面層內(nèi)的速度分布 。 在式 （ ） 中 ， 一共有四個(gè)未知數(shù) 、 、 和 ， 其中 ， 未知數(shù) 是由理想流動(dòng)計(jì)算獲得 ， 而 和 由 和 決定 ， 因此方程尚有三個(gè)未知量 、 和 。 對(duì)不可壓流，式（ ）化為 ? ? ? ?2 000 wxxd d d pV d y V V d yd x d x d x?? ???? ??? ? ? ??? （ ） 式 （ ） 右端的壓強(qiáng)梯度可以根據(jù)附面層外邊界的理想流動(dòng)得出 。 該方程對(duì)于層流附面層和湍流附面層都適用 。 CD和 BD上的作用力方向與 x方向相反 ， 1 dd d xdx?? ?? w??所以都帶有負(fù)號(hào) 。 AC面積在 x方向的投影面積大小為 。 0V0V 0()Vxx在單位時(shí)間內(nèi) ， 通過界面流出與流入控制體的動(dòng)量的差值為 dxdyVxVdxdyVx xx ????????????????? ?? ?? ?? 000 2p? ? ?pp d xx?? ?????????? 2p d x dp d xx d x?????????? wdx??AB面上 x方向的作用力 CD 面上 AC面上 BD面上 進(jìn)一步分析作用在控制體上的力 。對(duì)控制體運(yùn)用動(dòng)量定理。在附面層中取一微元控制體ABDCA，其中 AB和 CD是垂直于壁面的兩個(gè)控制面，相距為 dx，BD是壁面， AC是附面層外邊界。 ?圖 動(dòng)量積分方程的推導(dǎo) 圖 給出了附面層內(nèi)流體沿某一壁面的流動(dòng)。 前者主要是從數(shù)學(xué)上推導(dǎo) ，而后者的物理概念比較清楚 。 解法的精確度取決于所選定的速度分布 。這種方法的基本思想是使流動(dòng)參數(shù)在總體上滿足附面層基本方程 。221 ( ) ( )y y y y y y x y yxyV V V V V V V V VpVVt x y y x y x y??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 0yx VVxy?? ???? 雖然附面層微分方程比較有了很大的簡化 ， 但是要求解這一組偏微分方程 ， 其計(jì)算工作量仍然很大 ， 需要借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解 。 39。221 ( ) ( )xyx x x x x x xxyVVV V V V V V VpVVt x y x x y x y???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 2 39。2 2 39。21 () xyx x x x x xxyVVV V V V V VpVVt x y x y x y???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?21xVpyR?? ??（ ） 39。2 39。 0y? 0 ()xV V x?0()Vx 對(duì)于二維不可壓湍流附面層 ， 方程 （ ） 中的動(dòng)量方程中存在有湍流切應(yīng)力的附加應(yīng)力項(xiàng) ， 省略各時(shí)均化參數(shù)的記號(hào) ，則有 NS?經(jīng)過數(shù)量級(jí)的分析，湍流附面層方程可以寫成如下形式： 0yx VVxy?? ????39。下面給出初始條件和附面層內(nèi)外邊界上的邊界條件。 采用正交曲線坐標(biāo)系 ， 并采用與上述同樣的分析方法 ， 考慮到物面的曲率半徑為 ， 經(jīng)數(shù)量及分析后 ， 得到曲線坐標(biāo)系中的附面層方程為 x xyR0yx VVxy?? ????221x x x xxyV V V VpVVt x y x y??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?21xVpyR?? ??（ ） 由上式可以看出 ， 對(duì)于曲壁的情況 ， 由于壁面彎曲產(chǎn)生的離心力 ，使得橫向的壓強(qiáng)梯度不為零 ， 顯然這是由于壁面彎曲造成的 。 因此在求解繞平面物體 （ 或物面曲率半徑比較大的物體 ） 的流動(dòng)時(shí) ， 第三個(gè)方程可以去掉 ,而壓強(qiáng)可以用附面層外邊界的壓強(qiáng)代替 。 由上式的最后一個(gè)方程可以看出 ， 對(duì)于直壁 ， 沿垂直于壁面方向 ， 壓強(qiáng)近似保持不變 。 由于在附面層中 ， 所以方程中帶有 Re ~1211~ 1 , ~ 1Re Re的項(xiàng)可以忽略。 根據(jù)附面層流動(dòng)的特點(diǎn) ， 選取附面層外邊界速度 、 物體的特征長度 、 附面層厚度 及密度 為特征量 ， 對(duì)上式進(jìn)行無量綱化 ， 即令 0V L? ?20 0 0 0 , , , , ,// Re / Reyxxy VVx y y t px y t V p VL L V V VLV??? ? ? ? ? ? ?（ ） 式中 ， 。為了簡化推導(dǎo)，考慮二維不可壓縮層流流動(dòng)，取物面為 坐標(biāo)軸，垂直于物面為 軸。 要求解附面層內(nèi)的詳細(xì)流動(dòng)細(xì)節(jié) ， 必須求解附面層微分方程 。 文獻(xiàn) [5]引用了米歇爾 （ Michel） 基于實(shí)驗(yàn)提出的轉(zhuǎn)捩點(diǎn)位置 XT和相應(yīng)的動(dòng)量損失厚度之間的關(guān)系為 ** 2 .9 Te e xRR? ? （ a） 參考文獻(xiàn) [6]給出了經(jīng)過改進(jìn)的半經(jīng)驗(yàn)公式 ** 0 . 4 3 51 . 7 1 8 TexeRR? ?60 . 3 1 0 2 0TeXR??只要速度分布光滑和表面光滑，上式提供了確定轉(zhuǎn)捩點(diǎn)位置的較好的方法。一般地對(duì)于繞平板的流動(dòng)， 經(jīng)過轉(zhuǎn)捩段 AB后，即 附面層轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳌?層流附面層的存在有一個(gè)極限情況 ， 超過此極限時(shí) ， 層流處于不穩(wěn)定狀態(tài) ， 并逐漸過渡為湍流附面層 。附面層流動(dòng)和管流一樣有層流附面層和湍流附面層之分 。 由于附面層內(nèi)的流速小于理想流體的流速 ， 因此附面層內(nèi)流體的動(dòng)量也會(huì)減小 。 2 . 3 6 1 1 0 6 5 1 0 。 6 . 6 9 4 4 3 1 。 特別是對(duì)于管道內(nèi)出現(xiàn)聲速截面時(shí) ， 實(shí)際管道壁面必須進(jìn)行修正 。 *? 對(duì)于不可壓流體，上式可改寫為 *0 0(1 )xV dyV?? ??? () 根據(jù)以上的分析 ， 如果按理想流體設(shè)計(jì)的型面 ， 為了使相同質(zhì)量流量的粘性流體能夠通過則物面應(yīng)向外移動(dòng)一個(gè) 的距離 。因此它應(yīng)等于以理想流體 流過 0, 0 V? , Vx?*? ? ?0, 0V? 距離上的質(zhì)量流量 ， 即 *?*0 0 0 00 () xV V V d y?? ? ? ????所以得 （ ） *0 00(1 )xV dyV? ??????由此可見，在質(zhì)量流量相等的條件下，猶如將理想流體的流動(dòng)區(qū)域自物面向外移動(dòng)了一個(gè) 的距離。 則粘性流體與理想流體同時(shí)流過該物面時(shí) ， 由于粘性流體中附面層的影響 ， 所減少的質(zhì)量流量為 ?000 () xV V d y? ????其中 是附面層外邊界處理想流體的密度和速度； 分別是附面層內(nèi)的密度和速度。 Vy??0py? ??3． 位移厚度 和動(dòng)量損失厚度 *? **?所謂的位移厚度 就是由于附面層內(nèi)速度降低而要求流道加寬的厚度，即全部粘流所占的流道比無粘流體流動(dòng)應(yīng)占流道所加寬的部分，即是位移厚度。 同時(shí)它還使得理想流體的結(jié)論具有實(shí)際意義 。 如果測(cè)量流體流過平板的附面層內(nèi)沿 y方向的壓強(qiáng)梯度 ， 的確可以得到在附面層內(nèi)壓強(qiáng) p沿 y方向不變 ,即 ?？傊?，在靠近物體表面的附面層內(nèi)以及在物體之后的尾跡區(qū)內(nèi)，粘性都有顯著的影響。 在附面層外邊界，流速接近于外邊界速度，因此附面層外邊界的速度梯度很小。 顯然 ， 該阻力產(chǎn)生的根源是流體與物體表面之間的摩擦以及附面層分離引起的 。 粘性影響較大的另一種情況是流體在物體后面的部分 ， 通常要離開物體的表面 ， 即在物體后面形成所謂的尾跡區(qū) 。 此時(shí)緊貼物面法線方向速度梯度很大的這一層都是很薄的 ， 因此附面層厚度 是個(gè)小量 。通常定義當(dāng) V=（ V0為附面層外邊界的速度）時(shí)的垂直物面的法向距離為 附面 層厚度 ， 用 表示 。而沿物面的法線方向上，流速逐漸增加，到某一距離處，流速與外邊界速度近似相等。 2 xt dVldy??? l 1．附面層厚度及流動(dòng)阻力 粘性是流體的重要屬性。???????????dyVdlVV xyxt ???考慮到湍流切應(yīng)力的符號(hào) 應(yīng)與粘性切應(yīng)力的符號(hào) 相同。這樣湍流切應(yīng)力就可以寫為 l1C?2239。39。39。39。 xy dVV Cl dy?普朗特引入了混合長度的概念 ， 確定了脈動(dòng)速度 的大小與時(shí)均速度梯度之間的關(guān)系 ， 從而確定湍流切應(yīng)力的大小 。 顯然第二個(gè)假設(shè)成立 ， 即 /xldV dy39。其根據(jù)可用圖 。 /xldV dy)( ly?/xldV dy)( ly