【正文】 ?/xldV dy 圖 普朗特又做出第二個(gè)假設(shè)，他認(rèn)為 y方向的脈動(dòng)速度 39。同理，當(dāng)流體微團(tuán)從 y層脈動(dòng)到 層時(shí)，使 層的流體有一個(gè)負(fù)的脈動(dòng)速度，其大小也是 。 l從圖（ ）上可以看出， 層上的流體質(zhì)點(diǎn)脈動(dòng)到 y層時(shí)，其速度比 y層上的流體時(shí)均速度大 。 這個(gè)距離 l l稱為 混合長(zhǎng)度 ， 它是流體微團(tuán)在湍流運(yùn)動(dòng)中的自由行程的平均值 。xV另一方面 ， 湍流應(yīng)力與脈動(dòng)速度有關(guān) ， 為了確定這種關(guān)系 ，普朗特做出了第一個(gè)假設(shè)：即流體微團(tuán) x方向脈動(dòng)速度 近似等于兩層流體的時(shí)均速度之差 ， 即 39。 這就是混合長(zhǎng)度理論的基本思想 。 它和分子運(yùn)動(dòng)引起粘性應(yīng)力的情況十分相似。其基本思想是如果能夠找出湍流應(yīng)力與其它流場(chǎng)參數(shù)之間的關(guān)系，即找到了這些物理量的補(bǔ)充關(guān)系式，就可以使方程組封閉。 混合長(zhǎng)度理論是基于經(jīng)驗(yàn)性的一個(gè)經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的理論模型。 如果補(bǔ)充的關(guān)系式是一個(gè)代數(shù)方程 ， 而不需要補(bǔ)充任何附加的微分方程來(lái)求解時(shí)均流場(chǎng) ， 則稱這種模型為零方程模型；若補(bǔ)充的關(guān)系式是一個(gè)微分方程（ 如湍流脈動(dòng)動(dòng)能方程 ） ， 則稱為一方程模型；若是兩個(gè)微分方程 ， 則稱為雙方程模型等等 。yxVV?t?湍流正應(yīng)力和湍流切應(yīng)力統(tǒng)稱為雷諾應(yīng)力 。yxVV?39。yxVV?39。 2ds39。反過(guò)來(lái)，如果脈動(dòng)由低速層向高速層發(fā)生，高速層被減速，因此這兩層流體在 x方向上各受到切應(yīng)力的作用。式（ ）說(shuō)明了這個(gè)力的變化量。 )39。 ( 39。 39。39。 ?? ?（ ） 39。39。 ???? ????39。(39。39。yxVV?xyxyxxyxy VVVVVVVVV 39。yV?39。?圖 湍流應(yīng)力分析 圖 湍流應(yīng)力分析 由于在點(diǎn) M處沿 y方向上有脈動(dòng)速度 ， 則在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元面 （ 垂直于 y軸 ） 上的單位面積流入的質(zhì)量為 如圖 ， 這部分流體本身具有 x方向的速度 ， 因而隨之傳遞的 x方向上的動(dòng)量為 ， 其時(shí)均值為 39。 1ds1ds1ds xx VV 39。 式 （ ） 中各項(xiàng)都具有力的因次 ， 從而證明了在湍流情況下 ， 沿 x方向的時(shí)均真實(shí)應(yīng)力 ， 應(yīng)等于時(shí)均運(yùn)動(dòng)情況下 x方向上的應(yīng)力加上由于湍流中的 x方向脈動(dòng)引起的附加應(yīng)力 。22 ??? ?? （ ） 式（ ）左端是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于 x軸的單位面積所傳遞的真實(shí)動(dòng)量的平均值，右端第一項(xiàng)是同一時(shí)間內(nèi)通過(guò)同一面積所傳遞的按時(shí)均速度計(jì)算的動(dòng)量，第二項(xiàng)是由于 x方向 上速度脈動(dòng)所傳遞的動(dòng)量 。在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的動(dòng)量為 ，其時(shí)均值為 1ds2xV?xxxx VVVV 39。 x x x y x zx y y y y zx z y z z zV V V V V VV V V V V VV V V V V V? ? ?? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?? ? ???（ ） 式 （ ） 中的各項(xiàng)構(gòu)成了所謂的雷諾應(yīng)力 。 39。 39。39。 39。 39。39。 39。 39。xyVV??39。xxVV?? 等構(gòu)成的附加項(xiàng) ， 這些附加項(xiàng)構(gòu)成了一個(gè)對(duì)稱的二階張量 ， 即 39。xyVV 將雷諾方程與粘性流體應(yīng)力形式的動(dòng)量方程進(jìn)行比較，由式（ ）可以看出，在湍流的時(shí)均運(yùn)動(dòng)中，除了原有的粘性應(yīng)力分量外，還多出了由脈動(dòng)速度乘積的時(shí)均值 、 39。xxVV 39。 xV yV zV p 39。 四個(gè)方程中有十個(gè)未知數(shù) ， 即方程組不封閉 。雷諾方程與 N— S方程在形式上是相同的 ， 只不過(guò)在粘性應(yīng)力項(xiàng)中多出了附加的湍流應(yīng)力項(xiàng) 。z z z z z z zx y zyzxz zzV V V V V V VpV V Vt x y z z x y zVVVV VVx y z???? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??????? ??? ? ?? ? ?（ ） 方程組 （ ） 就是著名的不可壓縮流體作湍流運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程稱為 雷諾方程 。 39。39。y y y y y y yx y zx y y y y zV V V V V V VpV V Vt x y z y x y zV V V V V Vx y z??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。 39。 39。x x x x x x xx y zxyx x x zV V V V V V VpV V Vt x y z x x y zVVV V V Vx y z???????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? 2222 2 2()39。 39。39。 )xyx x x x zxx xyx x zx xVVV V V V Vt x y zVVVp VVV V V Vxyyx x y z??????? ?? ? ?? ? ??????? ? ? ??????? ? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ? ??再應(yīng)用時(shí)均運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程（ ），上式可化為 2222 2 2()39。 ) ( 39。 )( 39。 x x x x x x x y x y x y x z x z x zV V V V V V V V V V V V V V V V V V? ? ? ? ? ?這樣式（ ）經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后，可表示為 2222 2 2()( 39。 , 39。 , 39。 0A B B A??39。x x xV V V??39。 0yx zVV Vx y z?? ?? ? ?? ? ?可見(jiàn) ， 對(duì)不可壓湍流運(yùn)動(dòng) ， 時(shí)均運(yùn)動(dòng)和脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程和瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程具有相同的形式 。39。 ) 0yyxx zzVVVV VVt x y z x y z???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?與瞬時(shí)值的連續(xù)方程相比，多出了三個(gè)脈動(dòng)量乘積的導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值。 )( ) ( 39。 )( ) ( 39。 )zVz???所以可壓縮湍流運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程為 ( ) ( 39。 )()yyxx zzyyxx zyyxx zzyx zVVVV VVt x y z t x y zVVVV VVt x y zVVVV Vt x yVV Vtzxyxyz???? ???????? ?????? ???? ??????? ????????? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??( 39。 )( ) ()()() ()39。 )( ) ( 39。 ) ( 39。 )( 39。其連續(xù)方程為 ()() () 0yx zVV Vt x y z?? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?對(duì)其進(jìn)行時(shí)均運(yùn)算 ( ) ( )( ) ( )( ) (( 39。 0nnAs? ??() （ 8） 瞬時(shí)物理量對(duì)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值 ， 等于時(shí)均物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) ， 即 AAtt????? () 在準(zhǔn)定常的條件下， () 0At? ?? 湍流運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程 由于湍流流動(dòng)中各物理量都具有某種統(tǒng)計(jì)特征的規(guī)律 ， 所以基本方程中任一瞬間物理量都可用平均物理量和脈動(dòng)物理量之和來(lái)代替 ， 并且可以對(duì)整個(gè)方程進(jìn)行時(shí)間平均的運(yùn)算 。A B C A B C A B C B A C C A B A B C? ? ? ? ?(7)瞬時(shí)物理量對(duì)空間坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值，等于時(shí)均物理量對(duì)同一坐標(biāo)的各階導(dǎo)數(shù)，即 0011()nnnnn n n nTTn n n nAAssA A Ad t A d ts T s s T s?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ???() 其中， 代表任意坐標(biāo)方向，如 。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。) ( 39。39。 39。 39。 ( ) 0TTA A d t A A d t A ATT? ? ? ? ? ??? () （ 3） 瞬時(shí)物理量之和的時(shí)均值 ， 等于各個(gè)物理量時(shí)均值之和 ， 即 = () AB? AB?0 0 01 1 1()T T TA B A B d t A d t B d t A BT T T? ? ? ? ? ? ?? ? ?（ 4） 時(shí)均物理量與脈動(dòng)物理量之積的時(shí)均值等于零 ， 即 39。0A ?001139。A B C、 、（ 1） 時(shí)均量的時(shí)均值等于原來(lái)的時(shí)均值 ， 即 AA? () 因?yàn)樵跁r(shí)間平均周期 T內(nèi) 是個(gè)定值，所以其時(shí)均值仍為原來(lái)的值。 39。 設(shè) A、 B、 C為湍流中物理量的瞬時(shí)值 ， 為物理量的時(shí)均值 ， 為物理量的脈動(dòng)值 ， 則具有以下的時(shí)均運(yùn)算規(guī)律 。 雷諾從不可壓縮流體的 N— S方程導(dǎo)出湍流平均運(yùn)動(dòng)方程 （ 后人稱此為雷諾方程 ） 并引出雷諾應(yīng)力的概念 。 雷諾方程和雷諾應(yīng)力 從對(duì)湍流的研究可知 ， 湍流運(yùn)動(dòng)中任何物理量都隨時(shí)間和空間不斷的變化 ， 所以要想用方程求解這種運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度是非常困難的 。 對(duì)于所有的流動(dòng)進(jìn)出口截面 ， 應(yīng)給出每時(shí)刻截面上速度 、 壓力和溫度的分布 。 邊界條件隨具體問(wèn)題而定 ， 一般來(lái)講可能有以下幾種情況：固體壁面 （ 包括可滲透壁面 ） 上的邊界條件；不同流體的分界面 （ 包括自由液面 、 氣液界面 、 液液界面 ） 上的邊界條件；無(wú)限遠(yuǎn)或管道進(jìn)出口處的邊界條件等 。 在數(shù)學(xué)上可以表示為 在 0tt?V (x, y, z, t0) = V0 (x, y, z) p (x, y, z, t0) = p0 (x, y, z) (x, y, z, t0) = 0(x, y, z) T(x, y, z, t0) = T0 (x, y, z) () ??式中 V0 (x, y, z) ， p0 (x, y, z) ， 0(x, y, z) ， T0 (x, y, z) 均為時(shí)刻的已知函數(shù)。 但是要得到具體的解還要給定相應(yīng)的初始和邊界條件 ， 這些條件統(tǒng)稱為 定解條件 。 ??將式 () 代入到 () 中，并采用（ ）消去 ，得到內(nèi)能形式的能量方程 ij??? V () ? (du pdt? ? ? ?) ( )k T q?? ? ? ? ? ? ?根據(jù)連續(xù)方程有 V () (p?? 1) ( )p d dpd t d t? ???? ? ?它表示單位時(shí)間內(nèi)單位體積流體在壓強(qiáng) p的作用下所作的膨脹（ 或壓縮 ） 功 。 用來(lái)表示第二種形式對(duì)控制體內(nèi)單位質(zhì)量流體的傳熱量。n)dA () svQ W W? ? ? ( ) ( )c v c spe d v et ?? ?? ??? ??因?yàn)樵谖⒃刂企w中沒(méi)有軸功 ， 所以 。但是對(duì)于一些簡(jiǎn)單的流動(dòng)，如平行平板的定常層流流動(dòng)、圓管內(nèi)的定常層流流動(dòng)等是可以得到精確解的，而且這些精確解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致。 ????NS方程為二階非線性偏微分方程組。 它是由 (17851836) 和 Sir Gee G. Stokes(18191903)分別獨(dú)立導(dǎo)出的 ， 方程即以他們的名字聯(lián)合命名 。 對(duì)于牛頓流體 ， 粘性應(yīng)力與流體的變形以及粘性系數(shù)成正比 ， 具體關(guān)系為 V) V) V) 22(3xxx Vx? ? ??? ? ? ??22(3yyyVy? ? ??? ? ? ??22(3zzzVz? ? ??? ? ? ??y xxyV Vxy?????????????