【正文】 ?yzyzVVyz??????????????x zzxV Vzy????? ?????????（ ） 式 ( ) 又稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律 。 表面力的合力包含壓強梯度和粘性應(yīng)力散度兩部分 。 圖 x方向應(yīng)力作用的表面力 。 ij?下面來分析控制體所受表面力的合力 。 表面力是由于控制面上應(yīng)力的作用而產(chǎn)生的力 ， 這些應(yīng)力包括壓強 p和流體運動而產(chǎn)生的粘性應(yīng)力 ,其中壓強的作用方向垂直指向控制面 。 控制體所受的外力有兩大類 ，質(zhì)量力和表面力 。 本章內(nèi)容構(gòu)成了粘性流體流動的基本知識 。從而尋求減小摩擦阻力，減輕氣動加熱的途徑，采取必要的設(shè)計措施。這樣求解粘性流動的問題，可以通過求解粘性流動的基本方程，也可以求解附面層內(nèi)的流動。第十章 粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ) 本章概述 :粘性是流體的重要屬性之一，自然界中存在的流體都具有粘性。理論和實驗表明，對于氣體繞物體的流動，粘性影響主要在靠近物體表面的薄層內(nèi)（稱為附面層）。因此研究附面層的目的，一方面是解決 計算氣流繞物體的摩擦阻力，而另一方面是估算物體上各點的熱流量。 本章首先討論粘性流動的基本方程 ， 由于連續(xù)方程并不涉及到粘性問題 ， 因此本章主要討論動量方程和能量方程 ， 然后導(dǎo)出湍流流動的雷諾方程 ， 最后討論附面層基本知識 。 ? （ NS） ? ? 初始條件和邊界條件 ? 雷諾方程和雷諾應(yīng)力 ? ? ? （ NS） 圖 與第八章分析質(zhì)量守恒方法類似 ， 我們可以針對微元控制體圖,列出動量方程 F= V )＋ ( Vi)out － ( Vi)in ? (cvt ??? ?dv imim? ? （ ） 同樣 ， 由于控制體為微元體 ， 所以上式積分可以近似為 V ) V)dxdydz （ ） (cvt ??? ?dv (t ????（ ） 動量流量發(fā)生在六個面上 ， 三個流入三個流出 . F=[ V)＋ VxV)＋ VyV)+ VzV)] dxdydz ? (t ??? (x ??? (x ??? (x ???上式為矢量方程 ， 右邊中括號內(nèi)可以改寫成 V)＋ VxV)＋ VyV)+ VzV) (t ??? (x ??? (x ??? (x ???=V[ + V)]+ （ ） t??? (??? ()x y zV V V VV V Vt x y z?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?根據(jù)連續(xù)方程上式中右邊中括號內(nèi)為零 ， 第二大項括號內(nèi)為加速度 ， 因此方程 （ ） 可以寫為 F= （ ） ? dV dx dy dzdt?（ ） 上式說明 ， 微元控制體內(nèi)流體的加速度乘以控制體內(nèi)流體的質(zhì)量 ， 等于控制體所受的合外力 。 質(zhì)量力是在某種外部場的作用下使得所有流體質(zhì)量受到的力 ， 如重力 、 離心力 、 電磁力等等 。 ij?x x y x z xx y y y z yijx z y x z zppp? ? ?? ? ??? ? ???????? 表示在與 i軸垂直的面上 j方向的應(yīng)力。 為了簡單起見 ， 以 x方向為例 。 圖 將這些力進行矢量和可得出微元控制體所受表面力在 x方向的分量為 , ( ) ( ) ( )x s u r f x x y x z xd F d x d y d zx y z? ? ???? ? ?????? ? ???（ ） 將式 （ ） 的第一行代入 ， 兩邊同除以 得 d v d x d y d z?( ) ( ) ( )x x x y x zxdF pdv x x y z? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ a ） 同理可以得出 y， z方向的合力 ( ) ( ) ( )y x y y y z ydF pd v y x y z? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( )z x z y z zzdF pdv z x y z? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ b ） （ c ） 將上式寫成矢量形式為 s u r f v i s c o u sd F d Fpd v d v? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ ） 上式右邊第二項為粘性力項 ， 由九個分量組成 yxx x z xv i s c o u sdF id v x y z?????????? ? ? ????? ? ? ??? ??x y y y z yj x y z? ? ?? ? ???? ? ???? ? ???yzxz zzkx y z?? ????? ?? ? ???? ? ??? （ ） 式 （ ） 還可以簡寫成如下的散度形式 ijv i s c o u sdFdv ??? ? ? ?????（ ） 式中 （ ） xx yx z xi j xy yy yzxz yz z z? ? ?? ? ? ?? ? ??稱為粘性應(yīng)力張量 ， 為對稱張量 ， 即 ， 當(dāng) 時 ，因此該張量有 6個獨立分量 。 將 ( ) ， () ， 代入 （ ） 最后得出對于無限小微元體的微分形式動量方程 ij? ij ji??? ij?ijdVRpdt? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 式中 為單位體積所受的質(zhì)量力 R?用文字表示該方程的物理意義為 單位體積所受的質(zhì)量力＋單位體積所受的壓力 ＋單位體積所受的粘性力＝密度 加速度 （ ） 將方程 （ ） 寫成分量式為 yxx x z x x x x xx x y zV V V VpR V V Vx x y z t x y z????? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） x y y y z y y y y yy x y zV V V VpR V V Vy x y z t x y z? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???yzxz z z z z z zz x y zV V V VpR V V Vz x y z t x y z?? ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???（ ） （ ） 對于無粘流動 因此方程 （ ） 變成 0ij? ?dVRpdt??? ? ?（ ) 式 （ ） 即為描述理想流動的歐拉方程 (Euler’s equation)。 將 ( ) 代入到( ) 可得出 = V) （ a） xdVdt?2 2 2222 (3x x xxV V VpRx x y z x??? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? = V) （ b） ydVdt?2 2 2222 (3y y yyV V VpRy x y z y??? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? = V) （ c） zdVdt?2 2 2222 (3z z zzV V VpRz x y z z??? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???式 （ ） 即為 描述牛頓粘性流體運動的微分方程式 ， 又稱為納維爾－斯托克斯 （ NavierStokes） 方程 ， 簡稱 NS方程 。 該方程可以寫成矢量形式 ， 并用 代替 D Dt d dt2 ()3DV R p V VDt?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 對于不可壓流動，上式為 21DV R p VDt ??? ? ? ? ?（ ） 式中 稱為運動學(xué)粘性系數(shù) 。在一般情況下，從數(shù)學(xué)上精確求解此方程是不可能的。 類似于 ， 由式 （ ） 同樣可以針對微元控制體列出能量方程 (V 采用與導(dǎo)出式（ ） 完全相同的方法 ， 可以得出 0sW ?( ) ( ) ( ) ( )v x y zQ W e V V V d x d y d zt x y z? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???() 式中 .類似于式 （ ） ,考慮到連續(xù)方程 ， 上式成為 ep????vdeQ W p d x d y d zdt???? ? ? ? ? ?????() 傳熱量 可以分為兩大類，一類是由于熱傳導(dǎo)對微元控制體的傳熱，另一類是輻射、化學(xué)反應(yīng)等其它形式的熱量傳遞。 Qq下面推導(dǎo)由于熱傳導(dǎo)而產(chǎn)生的傳熱量 ， 根據(jù)傅立葉熱傳導(dǎo)定律有 q k T? ? ?其中 k為導(dǎo)熱系數(shù)，與分析質(zhì)量流率和動量流率相同，我們可以得出 6個面上由于熱傳導(dǎo)而產(chǎn)生的熱流率 ,將 6個面上的熱流量代數(shù)求和得出 ( ) ( ) ( )k x y zQ q q q d x d y d zx y z??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???q dxdydz () 將傅立葉熱傳導(dǎo)定律代入上式得出 ()kQ k T d x d y d z? ? ? ? () 粘性應(yīng)力做功率等于粘性應(yīng)力分量 、 相應(yīng)的速度分量和相應(yīng)的面積三項的乘積 ， 見圖 ， 與 x軸垂直的左側(cè)面上粘性應(yīng)力做功率為 其中 () .v L F xW w d y d z? ()x x x x y x y z x zw V V V? ? ?? ? ? ?圖 與上述分析質(zhì)量流量 、 動量流量和熱流量完全相同可以得出 ，在與 x軸垂直的兩個面上粘性應(yīng)力的做功率為 ()x x x y x y z x zV V V d x d y d zx ? ? ?? ???同理可以得出另外兩個方向上的功率 ， 因此總的粘性應(yīng)力做功率應(yīng)為 ( ) ( )v x x x y x y z x z x y x y y y z y zW V V V V V Vxy? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???()x z x y z y z z zV V V d x d y d zz ? ? ?? ?? ? ? ?? ?(???? )ij d x d y d z??V () 將式 ()、 () 代入到 () 便得到微分形式的能量方程 V V () dedt? ? ( ) (p k T?? ? ? ? ? ? ? ?)ij q????其中 21?2e u V g z? ? ?上式中粘性力做功項還可以分解為 V V () (?? )ij??? ()ij?? ? ? ? ?其中 為粘性耗散函數(shù)，對于牛頓不可壓流體，該耗散函數(shù)為 ?222 22 2 2yyxx zVVVV Vx y z x y? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ??2 2y xzzV VVVy z z x???? ??? ??? ? ? ? ?