【正文】 2(x03)]2+4(x01)2. 若 x03,則 2(x03) ?(0, 4x08),所以當(dāng) t=2(x03),即 2my =2(x03)時(shí) , l 有最大值 2(x01). 若 2x03,則 2(x03)? 0,g(t)在區(qū)間（ 0， 4 x08）上是減函數(shù)， 所以 0l216(x02),l 不存在最大值 . 綜上所述， 當(dāng) x03 時(shí)，點(diǎn) P（ x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值 為 2（ x01）；當(dāng) 2 x0? 3 時(shí)，點(diǎn) P（ x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值 . 7.（江西卷 21） ． （本小題滿分 12 分） 設(shè)點(diǎn) 00( , )Px y 在直線 ( , 0 1)x m y m m? ? ? ? ?上，過點(diǎn) P 作雙曲線 221xy??的兩條切線 PA PB、 ，切點(diǎn)為 A、 B ，定點(diǎn) 1( ,0)M m . （ 1）求證：三點(diǎn) A M B、 、 共線。 ③當(dāng) a2 a2 b2+b20 時(shí)， a2 a2(a21)+ (a21)0， a4 3a2 +10, 解得 a2 352? 或 a2 352? （舍去）， a152? ，因此 a? 152? . 綜合（ i）（ ii）， a 的取值范圍為（ 152? ， +? ） . 4.（廣東卷 18） ．（本小題滿分 14 分） 設(shè) 0b? ，橢圓方程為 2212xybb??，拋物線方程為 2 8( )x y b??．如圖 4所示，過點(diǎn)(0 2)Fb?， 作 x 軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為 G ，已知拋物線在點(diǎn) G 的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn) 1F ． 10 A y x O B G F F1 圖 4 （ 1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程； （ 2）設(shè) AB， 分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn) P ，使得ABP△ 為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）． 【解析】 （ 1） 由 2 8( )x y b??得 218y x b??， 當(dāng) 2yb?? 得 4x?? ， ?G 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (4, 2)b? ，139。 1 2020 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 圓錐曲線 一． 選擇題： 1.（福建卷 11)又曲線 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F F2,若 P為其上一點(diǎn)，且 |PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 B A.(1,3) B.? ?1,3 C.(3,+? ) D.? ?3,?? 2.（海南卷 11）已知點(diǎn) P在拋物線 y2 = 4x上，那么點(diǎn) P到點(diǎn) Q（ 2，－ 1）的距離與點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ A ） A. （ 41 ，－ 1） B. （ 41 ， 1） C. （ 1， 2） D. （ 1，－ 2） 3.(湖北卷 10)如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn) P 軌進(jìn)入以月球球心 F 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月 飛行，之后衛(wèi)星在 P 點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以 F 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在 P 點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以 F 為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用 12c 和 22c 分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 12a 和22a 分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子： ① 1 1 2 2a c a c? ? ? 。 且 PA PBAQ QB? 又 , , ,P AQB 四點(diǎn)共線，可設(shè) , ( 0 , 1 )PA AQ PB BQ? ? ?? ? ? ? ?,于是 1141,11xyxy?????? （ 1） 6 2241,11xyxy?????? （ 2） 由于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y在橢圓 C 上，將（ 1），（ 2）分別代入 C 的方程 222 4,xy?? 整理得 2 2 2( 2 4) 4( 2 2) 14 0x y x y??? ? ? ? ? ? ? （ 3） 2 2 2( 2 4) 4( 2 2) 14 0x y x y??? ? ? ? ? ? ? (4) (4)－ (3) 得 8(2 2) 0xy ?? ? ? 0 , 2 2 0xy? ? ? ? ?∵ ∴ 即點(diǎn) ( , )Qxy 總在定直線 2 2 0xy? ? ? 上 2.（北京卷 19） ．（本小題共 14 分） 已知菱形 ABCD 的頂點(diǎn) AC， 在橢圓 2234xy??上，對(duì)角線 BD 所在直線的斜率為 1． （ Ⅰ ）當(dāng)直線 BD 過點(diǎn) (01)， 時(shí)，求直線 AC 的方程； （ Ⅱ ）當(dāng) 60ABC??時(shí)，求菱形 ABCD 面積的最大值． 解：（ Ⅰ ）由題意得直線 BD 的方程為 1yx??． 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，所以 AC BD? ． 于是可設(shè)直線 AC 的方程為 y x n?? ? ． 由 2234xyy x n? ??? ?? ?? ，得 224 6 3 4 0x nx n? ? ? ?． 因?yàn)?AC， 在橢 圓上， 所以 212 64 0n? ? ? ? ?，解得 4 3 4 333n? ? ? ． 設(shè) AC， 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 1 1 2 2( ) ( )x y x y， ， ， ， 則1232nxx??， 212 344nxx ??， 11y x n?? ? ， 22y x n?? ? ． 所以122nyy??． 所以 AC 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 344nn??????，． 7 由四邊形 ABCD 為菱形可知，點(diǎn) 344nn??????，在直線 1yx??上， 所以 3 144nn??，解得 2n?? ． 所以直線 AC 的方程為 2yx?? ? ，即 20xy? ? ? ． （ Ⅱ ）因?yàn)?四邊形 ABCD 為菱形，且 60ABC??， 所以 AB BC CA??． 所以菱形 ABCD 的面積 232S AC? ． 由（ Ⅰ ）可得 22 221 2 1 2 3 1 6( ) ( ) 2nA C x x y y ??? ? ? ? ?， 所以 23 4 3 4 3( 3 1 6 )4 3 3S n n??? ? ? ? ? ?????． 所以當(dāng) 0n? 時(shí)，菱形 ABCD 的面積取得最大值 43． 3.（福建卷 21） （本小題滿分 12 分） 如圖、橢圓 22 1( 0 )xy abab?? 的一個(gè)焦點(diǎn)是 F（ 1， 0）， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . （Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等 分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn) .若直線 l繞點(diǎn) F 任意轉(zhuǎn)動(dòng)，值有 2 2 2O A O B A B? ,求 a 的取值范圍 . 本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力 .滿分 12分 . 解法一： (Ⅰ )設(shè) M， N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 因?yàn)椤?MNF為正三角形， 所以 32OF MN? , 即 1＝ 32 , 3 .23b b解 得 ＝ 8 221 4,ab? ? ? 因此，橢圓方程為 221.43xy?? (Ⅱ )設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y (ⅰ )當(dāng)直線 AB與 x軸重合時(shí)， 2 2 22 2 22 2 22 , 4 ( 1 ) ,.OA OB a AB a aOA OB AB? ? ? ???因 此 ， 恒 有 (ⅱ )當(dāng)直線 AB不與 x軸重合時(shí)， 設(shè)直線 AB的方程為： 221 , 1 ,xyx m y ab? ? ? ?代 入 整理得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0 ,a b m y b m y b a b? ? ? ? ? 所以 2 2 2 21 2 1 22 2 2 2 2 22 ,b m b a by y y ya b m a b m?? ? ??? 因?yàn)楹阌?2 2 2O A O B A B??，所以 ? AOB恒為鈍角 . 即 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0O A O B x y x y x x y y? ? ? ?恒成立 . 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1x x y y m y m y y y m y y m y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2( 1 ) ( ) 2 10.m b a b b ma b m a b mm a b b a b aa b m??? ? ???? ? ? ???? 又 a2+b2m20,所以 m2a2b2+b2a2b2+a20 對(duì) m?R 恒成立， 即 a2b2m2 a2 a2b2+b2對(duì) m?R 恒成立 . 當(dāng) m?R 時(shí)， a2b2m2 最小值為 0，所以 a2 a2b2+b20. a2a2b2 b2, a2( a21)b2= b4, 因?yàn)?a0,b0,所以 ab2,即 a2a10, 解得 a152? 或 a152? (舍去 )，即 a152? , 綜合（ i） (ii)， a 的取值范圍 為（ 152? ， +? ） . 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（ i）當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)， 9 x=1 代入 2 2 222 2 21 ( 1 )1, Ay b aya b a ?? ? ?=1. 因?yàn)楹阌?|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)4 yA2, yA21，即 2 1aa? 1, 解得 a152? 或 a152? (舍去 )，即 a152? . （ ii）當(dāng)直線 l 不垂直于 x軸時(shí)，設(shè) A（ x1,y1） , B（ x2,y2） . 設(shè)直線 AB 的方程為 y=k(x1)代入 221,xyab?? 得 (b2+a2k2)x22a2k2x+ a2 k2 a2 b2=0, 故 x1+x2= 2 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 22 ,.a k a k a bxxb a k b a k???? 因?yàn)楹阌?|OA|2+|OB|2|AB|2, 所以 x21+y21+ x22+ y22( x2x1)2+(y2y1)2, 得 x1x2+ y1y20 恒成立 . x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x11) (x21)=(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 2 2 2 22 ( )a k