【正文】 （ x0,0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值 為 2（ x01）；當 2 x0? 3 時，點 P（ x0,0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值 . 7.（江西卷 21） ． （本小題滿分 12 分） 設點 00( , )Px y 在直線 ( , 0 1)x m y m m? ? ? ? ?上，過點 P 作雙曲線 221xy??的兩條切線 PA PB、 ，切點為 A、 B ，定點 1( ,0)M m . （ 1）求證：三點 A M B、 、 共線。21212121 xxODxxODSS O D EO D F ??????? ?? 當 E、 F 在不同支上時（如圖 2 所示） . 13 ?? ?? ODFOEF SS S△ ODE= .21)(21 2121 xxODxxOD ????? 綜上得 S△ OEF＝ ,21 21 xxOD ??于是 由｜ OD｜＝ 2 及 ③式，得 S△ OEF= .1 322 22k k? ? 若△ OEF 面積不小于 2 則有即 ,22,2 ?? OE FS .22,0221 322 242 2 ???????? ? kkkk k 解得 ④ 綜合 ②、 ④知，直線 l 的斜率的取值范圍為 [ 2 ， 1]∪（ 1， 1）∪（ 1， 2 ） . 6.（湖南卷 20） .（本小題滿分 13 分） 若 A、 B 是拋物線 y2=4x 上的不同兩點，弦 AB（不平行于 y 軸）的垂直平分線與 x 軸相交于點 P，則稱弦 AB 是點 P 的一條“相關弦” .已知當 x2 時，點 P（ x,0） 存在無窮多條“相關弦” .給定 x02. （ I）證明：點 P（ x0,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同； (II) 試問：點 P（ x0,0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？ 若存在，求其最大值（用 x0表示）：若不存在，請說明理由 . 解 : （ I）設 AB 為點 P（ x0,0）的任意一條“相關弦”，且點 A、 B 的坐標分別是 （ x1,y1）、（ x2,y2）（ x1? x2） ,則 y21=4x1, y22=4x2, 兩式相減得（ y1+y2）（ y1y2） =4（ x1x2） .因為 x1? x2,所以 y1+y2? 0. 設直線 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中點是 M（ xm, ym） ,則 k= 121 2 1 242myyx x y y y? ????.從而 AB 的垂直平分線 l 的方程為 ( ).2mmmyy y x x? ? ? ? 又點 P（ x0,0）在直線 l 上 ，所以 0( ).2mmmyy x x? ? ? ? 而 0,my ? 于是 0 ??故點 P（ x0,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是 x02. (Ⅱ )由 (Ⅰ )知，弦 AB所在直線的方程是 ()mmy y k x x? ? ? ，代入 2 4yx? 中， 整理得 2 2 22 [ ( ) 2 ] ( ) 0 .m m m mk x k y k x x y k x? ? ? ? ? ? （ 關于 2x 的二次方程有一大于零的解， x? 有兩解， 即以 APB? 為直角的 Rt ABP? 有兩個， 因此拋物線上存在四個點使得 ABP? 為直角三角形。| 1xy ? ? ，過點 G的切線方程 為 ( 2) 4y b x? ? ? ?即 2y x b? ? ? ，令 0y? 得 2xb?? ， 1F? 點的坐標為(2 ,0)b? ，由橢圓方程得 1F 點的坐標為 (,0)b ， 2 bb? ? ? 即 1b? ，即橢圓和拋物線的方程分別為 2 2 12x y??和 2 8( 1)xy??； （ 2） 過 A 作 x 軸的垂線與拋物線只有一個交點 P ,?以 PAB? 為直角的 Rt ABP? 只有一個， 同理 ? 以 PBA? 為直角的 Rt ABP? 只有一個。 ③當 a2 a2 b2+b20 時， a2 a2(a21)+ (a21)0， a4 3a2 +10, 解得 a2 352? 或 a2 352? （舍去）， a152? ，因此 a? 152? . 綜合（ i）（ ii）， a 的取值范圍為（ 152? ， +? ） . 4.（廣東卷 18） ．（本小題滿分 14 分） 設 0b? ，橢圓方程為 2212xybb??，拋物線方程為 2 8( )x y b??．如圖 4所示，過點(0 2)Fb?， 作 x 軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為 G ，已知拋物線在點 G 的切線經(jīng)過橢圓的右焦點 1F ． 10 A y x O B G F F1 圖 4 （ 1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程； （ 2）設 AB， 分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點 P ，使得ABP△ 為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）． 【解析】 （ 1） 由 2 8( )x y b??得 218y x b??， 當 2yb?? 得 4x?? ， ?G 點的坐標為 (4, 2)b? ，139。 由題設知 , , ,A P P B A Q Q B均不為零，記 AP AQPB QB? ??,則 0?? 且 1?? 又 A， P， B， Q 四點共線，從而 ,A P P B A Q Q B??? ? ? 于是 124 1xx???? ? ， 121 1yy???? ? 121xxx ???? ? ， 121yyy ???? ? 從而 2 2 2122 41xxx??? ??， （ 1） 2 2 21221yyy??? ??， （ 2） 又點 A、 B 在橢圓 C 上，即 22112 4 , (3)xy?? 222 4 , ( 4)xy?? （ 1） +（ 2） 2 并結合（ 3），（ 4）得 4 2 4sy?? 即點 ( , )Qxy 總在定直線 2 2 0xy? ? ? 上 方法二 設點 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )Q x y A x y B x y，由題設， , , ,P A P B A Q Q B均不為零。過點 F 平行雙 4 曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點 B，則△ AFB 的面積為 _______3215 2.（湖南卷 12）已知橢圓 221xyab??（ a＞ b＞ 0）的右焦點為 F,右準線為 l ,離心率 e= 過頂點 A(0,b)作 AM? l ,垂足為 M，則直線 FM的斜率等于 . 12 3.（江蘇卷 12）在平面直角坐標系中，橢圓 22xyab??1( ab??0)的焦距為 2，以 O 為圓心， a 為半徑的圓，過點 2,0ac??????作圓的兩切線互相垂直，則離心率e = ． 22 4.（江西卷 15）過拋物線 2 2 ( 0)x py p??的焦點 F 作傾角為 30 的直線，與拋物線分別交于 A 、 B 兩點（ A 在 y 軸左側），則 AFFB? ． 13 5.（全國一 14）已知拋物線 2 1y ax??的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為 ． 2 6.（全國一 15）在 ABC△ 中， AB BC? ， 7cos 18B?? ．若以 AB， 為焦點的橢圓經(jīng)過點 C ，則該橢圓的離心率 e? ． 38 7.（全國二 15）已知 F 是拋物線 2 4C y x?： 的焦點 ，過 F 且斜率為 1的直線交 C于 AB， 兩點．設 FA FB? ，則 FA 與 FB 的比值等于 ． 3 2 2? 8.（浙江卷 12）已知 21 FF、 為橢圓 1925 22 ?? yx 的兩個焦點，過 1F 的直線交橢圓于 A、 B 兩點若 1222 ?? BFAF ，則 AB =______________。 ③ 1 2 1 2ca ac? 。 1 2020 年高考數(shù)學試題分類匯編 圓錐曲線 一． 選擇題： 1.（福建卷 11)又曲線 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）的兩個焦點為 F F2,若 P為其上一點，且 |PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 B A.(1,3) B.? ?1,3 C.(3,+? ) D.? ?3,?? 2.（海南卷 11）已知點 P在拋物線 y2 = 4x上，那么點 P到點 Q（ 2，－ 1）的距離與點 P 到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點 P的坐標為（ A ） A. （ 41 ，－ 1） B. （ 41 ， 1） C. （ 1， 2） D. （ 1，－ 2） 3.(湖北卷 10)如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點 P 軌進入以月球球心 F 為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月 飛行，之后衛(wèi)星在 P 點第二次變軌進入仍以 F 為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在 P 點第三次變軌進入以 F 為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用 12c 和 22c 分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 12a 和22a 分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子： ① 1 1 2 2a c a c? ? ? 。 ② 1 1 2 2a c a c? ? ? 。 ④ 11ca ＜ 22ca . 其中正確式子的序號是 B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷 8）若雙曲線 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）上橫坐標為 32a 的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是 ( B ) A.(1,2) B.(2,+? ) C.(1,5) D. (5,+? ) 2 5.（江西卷 7）已知 1F 、 2F 是 橢圓的兩個焦點 ，滿足 120MF MF??的點 M 總在 橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的 取值 范圍是 C A． (0,1) B． 1(0, ]2 C． 2(0, )2 D． 2[ ,1)2 6.（遼寧卷 10） 已知點 P是拋物線 2 2yx? 上的一個動點，則點 P到點（ 0， 2）的距離與 P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ A ） A． 172 B． 3 C． 5 D． 92 7.（全國二 9）設 1a ? ，則雙曲線 221( 1)xyaa???的離心率 e 的取值范圍是（ B ） A． ( 22)， B． ( 2 5)， C． (25)， D． (2 5)， 8.（ 山東卷 (10)設橢圓 C1的離心率為 135 ，焦點在 X 軸上且長軸長為 C2上的點到橢圓 C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于 8，則曲線 C2的標準方程為 A （ A） 1342222 ?? yx (B) 15132222 ?? yx (C) 1432222 ?? yx (D) 112132222 ?? yx 9.（陜西卷 8）雙曲線 221xyab??（ 0a? ， 0b? ）的左、右焦點分別是 12FF， ，過 1