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20xx年高考數學試題分類匯編--圓錐曲線(已改無錯字)

2022-10-16 21:52:41 本頁面
  

【正文】 x x xbb ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??? 將數值代入,有 2 232 5 284 5 415 5bb??????????????,解得 3b? 故所求的雙曲線方程為 22136 9xy??。 10.(全國二 21) .(本小題滿分 12 分) 設橢圓中心在坐標原點, (2 0) (0 1)AB, , , 是 它的兩個頂點,直線 )0( ?? kkxy 與 AB 相交于點 D,與橢圓相交于 E、 F 兩點 . ( Ⅰ ) 若 6ED DF? ,求 k 的值; ( Ⅱ ) 求四邊形 AEBF 面積的最大值 . ( Ⅰ )解:依題設得 橢圓 的方程為 2 2 14x y??, 直線 AB EF, 的方程分別為 22xy??, ( 0)y kx k??. 2 分 如圖,設 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( )D x k x E x k x F x k x, , , , ,其中 12xx? , 且 12xx, 滿足方程 22(1 4 ) 4kx??, 故21 2214xx k? ? ? ?. ① D F B y x A O E 18 由 6ED DF? 知 0 1 2 06( )x x x x? ? ?, 得0 2 1 2 21 5 1 0( 6 )77 7 1 4x x x x k? ? ? ? ?; 由 D 在 AB 上知 0022x kx??,得0 212x k? ?. 所以22 1012 7 1 4k k?? ? , 化簡得 224 25 6 0kk? ? ?, 解得 23k?或 38k?. 6 分 ( Ⅱ )解法一:根據點到直線的距離公式和 ① 式知,點 EF, 到 AB 的距離分別為2111 222 2 ( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????, 2222 222 2 ( 1 2 1 4 )55 ( 1 4 )x k x kkhk?? ? ? ????. 9 分 又 22 1 5AB ? ? ?,所以四邊形 AEBF 的面積為 121 ()2S AB h h?? 21 4 (1 2 )52 5(1 4 )kk?? ? 22(1 2 )14kk?? ? 221 4 42 14kkk??? ? 22≤ , 當 21k? ,即當 12k? 時,上式取等號.所以 S 的最大值為 22. 12 分 解法二:由題設, 1BO? , 2AO? . 設 11y kx? , 22y kx? ,由 ① 得 2 0x? , 210yy?? ? , 故 四邊形 AEBF 的面積為 BEF AEFS S S??△ △ 222xy?? 9 分 19 222( 2 )xy?? 222 2 2 244x y x y? ? ? 222( 4 )xy?≤ 22? , 當 222xy? 時,上式取等號.所以 S 的最大值為 22. 12 分 11.(山東卷 22) (本小題滿分 14 分 ) 如圖,設拋物線 方程為 x2=2py(p> 0),M為 直線 y=2p上任意一點,過 M引拋物線的切線,切點分別為 A, B. (Ⅰ)求證: A, M, B 三點的橫坐標成等差數列; (Ⅱ)已知當 M 點的坐標為( 2, 2p)時, 4 10AB? ,求此時拋物線的方程; (Ⅲ)是否存在點 M,使得點 C 關于直線 AB 的對稱點 D在拋物線2 2 ( 0)x py p? > 上,其中,點 C 滿足 OC OA OB??( O 為坐標原點) .若存在,求出所有適合題意的點 M 的坐標; 若不存在,請說明理由 . (Ⅰ)證明:由題意設 22121 2 1 2 0( , ) , ( , ) , , ( , 2 ) .22xxA x B x x x M x ppp ?< 由 2 2x py? 得 22xy p?,則 ,xyp?? 所以 12,.M A M Bxxkkpp?? 因此直線 MA 的方程為 102 ( ),xy p x xp? ? ? 直線 MB 的方程為 202 ( ).xy p x xp? ? ? 所以 211102 ( ),2xxp x xpp? ? ? ① 222202 ( ).2xxp x xpp? ? ? ② 20 由①、②得 2121 2 0 ,2xx x x x? ? ? ? 因此 2120 2xxx ??,即 0 1 x x?? 所以 A、 M、 B 三點的橫坐標成等差數列 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,當 x0=2 時, 將其代入①、②并整理得: 22114 4 0,x x p? ? ? 224 4 0,x x p? ? ? 所以 x x2是方程 224 4 0x x p? ? ?的兩根, 因此 21 2 1 24 , 4 ,x x x x p? ? ? ? 又22210122122 ,2ABxxxxxppkx x p p? ?? ? ?? 所以 2.ABk p? 由弦長公式得 2 2 21 2 1 2 241 ( ) 4 1 1 6 1 6 .A B k x x x x pp? ? ? ? ? ? ? 又 4 10AB? , 所以 p=1 或 p=2, 因此所求拋物線方程為 2 2xy? 或 2 ? (Ⅲ)解:設 D(x3,y3),由題意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 則 CD 的中點坐標為 1 2 3 1 2 3( , ) ,22x x x y y yQ ? ? ? ? 設直線 AB 的方程為 011( ),xy y x xp? ? ? 由點 Q 在直線 AB 上,并注意到點 1 2 1 2( , )22x x y y??也在直線 AB 上, 代入得 0? 21 若 D( x3,y3)在拋物線上,則 23 3 0 32 2 ,x py x x?? 因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0, 0)或 200 2(2 , ).xDxp ( 1)當 x0=0 時,則 1 2 020x x x? ? ?,此時,點 M(0,2p)適合題意 . ( 2)當 0 0x? ,對于 D(0, 0),此時22122 2 2 21 2 1 20002( 2 , ) , ,2 2 4CDxxx x x xpC x kp x px????? 又 0 ,AB xk p?AB⊥ CD, 所以 2 2 2 20 1 2 1 220 1,44A B C D x x x x xkk p p x p??? ? ? ? 即 2 2 212 4,x x p? ?? 矛盾 . 對于 200 2(2 , ),xDxp因為 22120(2 , ),2xxCx p?此時直線 CD 平行于 y 軸, 又 0 0,AB xk p?? 所以 直線 AB 與直線 CD 不垂直,與題設矛盾, 所以 0 0x? 時 ,不存在符合題意的 M 點 . 綜上所述,僅存在一點 M(0, 2p)適合題意 . 12.(陜西卷 20) .(本小題滿分 12 分) 已知拋物線 C : 22yx? ,直線 2y kx??交 C 于 AB, 兩點, M 是線段 AB 的中點,過 M作 x 軸的垂線交 C 于點 N . (Ⅰ)證明:拋物線 C 在點 N 處的切線與 AB 平行; (Ⅱ)是否存在實數 k 使 0NA NB? ,若存在,求 k 的值;若不存在,說明理由. 20.解法一:(Ⅰ)如圖,設 211( 2 )A x x, , 222( 2 )B x x, ,把 2y kx??代入 22yx? 得 22 2 0x kx? ? ? , 由韋達定理得122kxx??, 12 1xx?? , x A y 1 1 2 M N B O 22 ? 1224NM xx kxx ?? ? ?, ?N 點的坐標為 248kk??????,. 設 拋物線 在點 N 處的切線 l 的方程為 284kky m x??? ? ?????, 將 22yx? 代入上式得 222048m k kx m x? ? ? ?, 直線 l 與拋物線 C 相切, 22 2 2 28 2 ( ) 048m k km m m k k m k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????, mk??. 即 l AB∥ . (Ⅱ)假設存在實數 k ,使 0NA NB? ,則 NA NB? ,又 M 是 AB 的中點, 1| | | |2MN AB?? . 由(Ⅰ)知1 2 1 2 1 21 1 1( ) ( 2 2 ) [ ( ) 4 ]2 2 2My y y k x k x k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 422 2 4kk??? ? ? ?????. MN? x 軸, 2 2 2 16| | | | 24 8 8MN k k kM N y y ?? ? ? ? ? ? ?. 又 2 2 21 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4A B k x x k x x x x? ? ? ? ? ? ?
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