【正文】 PM 與 BD 所成的角為 45 答案： C 【解析】 由 PQ ∥ AC ， QM ∥ BD ， PQ ⊥ QM 可得 AC ⊥ BD ，故 A 正確； 由 PQ ∥ AC 可得 AC ∥截面 PQMN ，故 B 正確； 異面直線 PM 與 BD 所成的角等于 PM 與 PN 所成的角，故 D 正確； 綜上 C 是錯誤的，故選 C . 7. （ 2020 四川卷文） 如圖，已知六棱錐 ABCDEFP? 的底面是正六邊形， ABPAAB CPA 2, ?? 平面 則下列結(jié)論正確的是 A. ADPB? B. PAB平面 PBC平面? C. 直線 BC ∥ PAE平面 D. 直線 ABCPD與平面 所成的角為 45176。 ＝ 12R 而圓周長之比等于半徑之比 ,故 北緯 060 緯線長和赤道長的比值為 . 【答案】 C 12. （ 2020 全國卷Ⅰ文） 已知三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的側(cè)棱與底面邊長都相等， 1A 在底面ABC 上的射影為 BC 的中點，則異面直線 AB 與 1CC 所成的角的余弦值為 (A) 34 (B) 54 (C) 74 (D) 34 【解析】本小題考查棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角，基礎(chǔ)題。 上面命題中， 真命題 ． ． ． 的序號 （寫出所有真命題的序號） . 【 解析 】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。 解：設(shè)球半徑為 R ，圓 M 的半徑為 r ，則 ?? 32 ?r ，即 32?r 由題得 3)2( 22 ?? RR ，所以 ?? 1644 22 ??? RR 。又 DE⊥平面 1BCC ，故 AF⊥平面 1BCC ，從而 AF⊥ BC，即 AF為 BC的垂直平分線，所以 AB=AC。 因為 BC⊥ AF， BC⊥ AD， AF∩ AD=A，故 BC⊥平面 DEF，因此平面 BCD⊥平面 DEF。 ，求得21c? 于是 ），（ 211?AN ， ）， 211(1 ??CB 21c o s 111 ???? CBAN CBANCBAN ， 601 ?CBAN，176。 【解析】 (1)由于 EA=ED 且 39。 F39。 【解析】 解法一： 因為平面 ABEF⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD， BC⊥ AB，平面 ABEF∩平面 ABCD=AB， 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥ EF. 因為⊿ ABE為等腰直角三角形， AB=AE， 所以∠ AEB=45176。（滿分 12 分） （Ⅰ）證發(fā) 1：連接 BD，由底面是正方形 可得 AC? BD。 因為 DE? 11ACCA ， 所以 DE? ? ABC 是邊長為 4 的正三角形， 于是 AD=23， AE=4CE=4 12CD =3. 又因為 1 7AA? ，所以 1A E= 2211A E AA AE?? 22( 7) 3??= 4, 11374AE AAAF AE??? , 21s in 8AFA D F AD? ? ?. 即直線 AD 和平面 1ADE 所成角的正弦值為 218 . 解 法 2 : 如圖所示，設(shè) O 是 AC 的中點，以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系， 則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是 A(2,0,0,), 1A (2,0, 7 ), D(1, 3 ,0), E(1,0,0). 易知 1AD =（ 3， 3 ， 7 ）， DE =（ 0， 3 ， 0）， AD =（ 3， 3 ， 0） . 設(shè) ( , , )n x y z?r 是平面 1ADE 的一個法向量，則 13 0 ,3 3 7 0.n DE yn A D x y z? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???r uuuvr uuuv 解得 7 ,03x z y? ? ?. 故可取 ( 7,0, 3)n??r .于是 cos , n ADn AD n AD?? ?r uuurr uuurr uuur= 3 7 2184 2 3? ??? . 由此即知，直線 AD 和平面 1ADE 所成角的正弦值為 218 . 11.（ 2020遼寧卷文） （本小題滿分 12分） 如圖，已知兩個正方形 ABCD 和 DCEF不在同一平面內(nèi)， M， N分別為 AB， DF的中點。 在 RT MNE? 中由 2 2 2ME NE MN?? 2232xx? ? ? 解得 1x? ，從而 12MN SD? ? M 為 側(cè)棱 SC 的中點 M. 解法二 :過 M 作 CD 的平行線 . （ II） 分析一 :利用三垂線定理求解。 13. （ 2020 四川卷文） （本小題滿分 12分） 如圖，正方形 ABCD 所在平面與平面四邊形 ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形， , , 45A B A E F A F E A E F ?? ? ? ? （ I）求證： EF BCE? 平 面 ； （ II）設(shè)線段 CD 、 AE 的中點分別為 P 、 M ， 求證： PM ∥ BCE平 面 （ III）求二面角 F BD A??的大小。 解析 ： 解答 1（ Ⅰ ） C B A C1 B1 A1 因為三棱柱 1 1 1ABC ABC? 為 直三棱柱 所以 1AB AA? 在 ABC 中 1AB? 0, 3 , 6 0A C A B C? ? ? 由正弦定理得 030ACB??所以 090BAC?? 即 AB AC? ，所以 1 ,AB ACC A? 又因為 1 1 1AC ACC A? 所以 1AB AC? （Ⅱ ） 如圖所示，作 1AD AC? 交 1AC 于 D ，連 BD ，由三垂線定理可得 1BD AC? 所以 ABD? 為所求角，在 1Rt AAC? 中， 113 3 626A A A CAD AC? ? ?g g，在 Rt BAD? 中，ta n 63ABABD AD?? ，所以 ta n 63ADB arc?? 2 2 2 2 2 23 1 1 0 1 0 1 5c o s , 53 1 1 1 0 0mnmn mn ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?ggg（ ） 所以 1AACB 所成角是 15arccos 5 15. （ 2020寧夏海南卷文） （本小題滿分 12 分） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， ⊿ PAB 是等邊三角形， ∠ PAC=∠ PBC=90 186。即直線 AB 到平面 EFCD 的距離為 255 。 （ I）證明：在 ABD? 中， 2 , 4 , 6 0A B A D D A B ?? ? ? ? 222 2 22 2 c o s 2 3,B D A B A D A B A D D A BA B B D A D A B D E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 又 平面 EBD? 平面 ABD 平面 EBD 平面 ,ABD BD AB??平面 ABD AB??平面 EBD DF? 平面 ,EBD AB DE?? （Ⅱ）解：由（ I）知 , / / , ,AB BD C D AB C D BD? ? ?從而 DE D? 在 RtDBE? 中， 2 3 , 2D B D E D C A B? ? ? ? 1 232ABES D B D E?? ? ? ? 又 AB? 平面 ,EBDBE? 平面 ,EBD AB BE?? 14 , 42ABEB E B C A D S A B B E?? ? ? ? ? ? ? ,DE BD? 平面 EBD? 平面 ABD ED??，平面 ABD 而 AD? 平面 1, , 42A D EA B D E D A D S A D D E?? ? ? ? ? ? 綜上，三棱錐 E ABD? 的側(cè)面積， 8 2 3S?? 17. （ 2020 重慶卷文） （本小題滿分 13 分，（ Ⅰ ）問 7 分，（ Ⅱ ）問 6 分） 如題（ 18）圖，在五面體 ABCDEF 中， AB ∥ DC ， 2BAD ???， 2CD AD??，四邊形 ABFE 為平行四邊形， FA? 平面 ABCD ， 3, 7FC ED??．求： （ Ⅰ ）直線 AB 到平面 EFCD 的距離； （ Ⅱ ）二面角 F AD E??的平面角的正切值． 解法一 : （ Ⅰ ） ,AB DC DC ?平面 EFCD , ?AB 到面EFCD 的距離等于點 A 到面 EFCD 的距離，過點 A 作AG FD? 于 G ，因 2BAD ???AB ∥ DC ，故CD AD? ；又 FA? 平面 ABCD ，由三垂線定理可ABC DEFxyzG知， CD FD? ，故 CD FAD? 面 ，知 CD AG? ，所以 AG 為所求直線 AB 到面 EFCD 的距離。 . 設(shè) AB=1,則 AE=1,AF= 22 ,則 1FG AF sin FAG 2? ? ? 在 Rt⊿ BGH中 , ∠ GBH=45176。 法 2：設(shè) MCSM ?? ，則 )1 2,1 2,2(),1 2,1 2,0( ????? ?????? MBM S A B C D M z x y 又 oABMBAB 60,),0,2,0( ???? 故 oABMBABMB 60c o s|||| ??? ，即 22 )1 2()1 2(21 4 ??? ?????? ，解得 1?? ， 所以 M 是側(cè)棱 SC 的中點。（同理 18） 【解析】本小題考查空間里的線線關(guān)系、二面角，綜合題。 （Ⅱ）求直線 AD 和平面 1ADE 所成角的正弦值。 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4? ? ? ? ?, 在 Rt⊿ FGH中 , FG 2tan FHG GH 3??, ∴ 二面角 F BD A??的大小 為 2arctan 3 ???????????????? 12分 解法二 : 因 ABE? 等腰直角三角形， AEAB? ，所以 ABAE? 又因為平面 ABAB C DAB E F ?? 平面 ，所以 AE ⊥平面 ABCD ， 所以 ADAE? 即 AEABAD 、 兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系 , (I) 設(shè) 1?AB ，則 1?AE ， )0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB ∵ ???? 45, AEFFEFA ，∴ 090＝AFE? ， 從而 ），－（21210F )21,21,0( ???EF ， )0,0,1(),1,1,0( ??? BCBE 于是 021210 ????? BEEF ， 0??BCEF ∴ EF ⊥ BE ,EF ⊥ BC ∵ BE ? 平面 BCE ， BC ? 平面 BCE ， BBEBC ?? ∴ EF BCE? 平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，從而 )21,21,1( ???PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( ??????????? EFPM