【正文】 在 Rt ABC△ 中， 22 9 4 5F D F C CD? ? ? ? ? 由 FA? 平面 ABCD，得 FA? AD ，從而在 Rt△ FAD 中，22 5 4 1F A F D A D? ? ? ? ? ? 2 2 555F A A DAG FD?? ? ?。 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4? ? ? ? ?, 在 Rt⊿ FGH中 , FG 2tan FHG GH 3??, ∴ 二面角 F BD A??的大小 為 2arctan 3 ? 12分 解法二 : 因 ABE? 等腰直角三角形， AEAB? ，所以ABAE? 又因為平面 ABAB C DAB E F ?? 平面 ，所以 AE ⊥平面 ABCD ，所以 ADAE? 即 AEABAD 、 兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系 , (I) 設(shè) 1?AB ，則 1?AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB ∵ ???? 45, AEFFEFA ，∴ 090＝AFE? ， 從而 ），－（21210F )21,21,0( ???EF ， )0,0,1(),1,1,0( ??? BCBE 于是 021210 ????? BEEF， 0??BCEF ∴ EF ⊥ BE ,EF ⊥ BC ∵ BE ? 平 面 BCE ， BC ? 平面 BCE ， BBEBC ?? ∴ EF BCE? 平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，從而 )21,21,1( ???PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( ??????????? EFPM ∴ PM ⊥ EF ，又 EF ⊥平面 BCE ，直線 PM 不在平面 BCE 內(nèi)， 故 PM ∥平面 BCE （ III）設(shè)平面 BDF 的一個法向量為 1n ，并設(shè) 1n ＝（ ), zyx )21,23,0(),0,1,1( ???? BFBD ?????????0011BFnBDn 即??????????021230zyyx 取 1?y ，則 1?x ， 3?z ，從而 1n ＝（ 1， 1， 3） 取平面 ABD D的一個法向量為 )1,0,0(2 ?n 11 1131113c o s 21 2121 ????????nnnnnn 、 故 二面角 F BD A??的大小 為 11113arccos 14. （ 2020 陜西卷文） (本小題滿分 12 分 ) 如圖，直 三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AB=1， 1 3AC AA??，∠ ABC=600 . (Ⅰ )證明： 1AB AC? ； （Ⅱ）求二面角 A— 1AC — B 的大小。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 )1,1,2(),1,1,0( ???MAM ，又 )2,0,2( ??AS ， )0,2,0(?AB ， 設(shè) ),(),( 22221111 zyxnzyxn ?? 分別是平面 SAM 、 MAB 的法向量，則 ?????????0011ASnMAn 且?????????0012ABnMAn ，即???????????0220211111 zx zyx 且 ????? ? ???02 022222y zyx 分別令 221 ?? xx 得 2,0,1,1 2211 ???? zyyz ，即 )2,0,2(),1,1,2( 21 ?? nn ， ∴3662 202,c os 21 ?? ????? nn 二面角 S AM B??的大小 36arccos?? 。 （ I） 解法一：作 MN ∥ SD 交 CD 于 N，作 NE AB? 交 AB 于 E， 連 ME、 NB，則 MN? 面 ABCD ， ME AB? , 2NE AD?? 設(shè) MN x? ，則 NC EB x??, 在 RT MEB? 中， 60MBE? ? ? 3ME x??。 解 :（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的性質(zhì)知1AA ? 平面 ABC . 又 DE? 平面 ABC，所以 DE 1AA? .而 DE? 1A E，1 1 1AA AE A? , 所以 DE⊥平面 11ACCA .又 DE ? 平面 1ADE ， 故平面 1ADE ⊥平面 11ACCA . （Ⅱ） 解法 1: 過點 A 作 AF 垂直 1AE 于點 F , 連接 （Ⅰ）知，平面 1ADE ⊥平面 11ACCA ， 所以 AF? 平面 1ADE ,故 ADF? 是直線 AD 和 平面 1ADE 所成的角。 本小題主要考察空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。 方法二： （ 1）同方法一； （ 2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則 (0,0,0)A ， (0,0,4)P ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ， 設(shè)平面 ABM 的一 個法向量 ( , , )n x y z? ，由 ,n AB n AM??可得： 20220xyz??? ???，令1z?? ，則 1y? ，即 (0,1, 1)n??.設(shè)所求角為 ? ，則 22sin3PC nPC n????， 所求角的大小為 22arcsin 3 . （ 3）設(shè)所求距離為 h ，由 (1, 2 , 0 ), (1, 2 , 0 )O AO ?，得： 2AO nhn??? 8. （ 2020 四川卷文） （本小題滿分 12分） 如圖，正方形 ABCD 所在平面與平面四邊形 ABEF 所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形， , , 45A B A E F A F E A E F ?? ? ? ? ONAPBCMDzxy（ I）求證： EF BCE? 平 面 ； （ II）設(shè)線段 CD 、 AE 的中點分別為 P 、 M ，求證： PM ∥ BCE平 面 （ III）求二面角 F BD A??的大小。 都居線段 AD 的垂直平分線上 . w. w. . 所以 ,直線 E39。 【思路】根據(jù)空間線面關(guān)系可證線線垂直，由分割法可求得多面體體積 ，體現(xiàn)的是一種部分與整體的基本思想。 ， 故 60c os???? ACANACAN 176。又 AD⊥ AF，所以四邊形 ADEF為正方形。 連接 AF，則 ADEF 為平行四邊形，從而 AF//DE。 7. （ 2020 全國卷Ⅰ文） 已知 OA 為球 O 的半徑，過 OA 的中點 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圓 M ，若圓 M 的面積為 3? ，則球 O 的表面積等于 __________________. 【解析】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球的表面積，基礎(chǔ)題。若圓 C 的面積等于 47? ，則球 O 的表面積等于 答案： 8π 解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進行運算，由.8)14474(44 22 ????? ??? RS 2. （ 2020 浙江卷文） 若某幾何體的三視圖（單位： cm ）如圖所示，則此幾何體的體積是 3cm ． 【命題意 圖】此題主要是考查了幾何體的三視圖，通過三視圖的考查充分體現(xiàn)了幾何體直觀的考查要求，與表面積和體積結(jié)合的考查方法． 【解析】該幾何體是由二個長方體組成，下面體積為 1 3 3 9? ? ? ，上面的長方體體積為3 3 1 9??? ，因此其幾何體的體積為 18 3. （ 2020 江蘇卷） 設(shè) ? 和 ? 為不重合的兩個平面，給出下列命題： （ 1）若 ? 內(nèi)的兩條相交直線分別平行于 ? 內(nèi)的兩條直線，則 ? 平行于 ? ； （ 2）若 ? 外一條直線 l 與 ? 內(nèi)的一條直線平行，則 l 和 ? 平行； （ 3）設(shè) ? 和 ? 相交于直線 l ， 若 ? 內(nèi)有一條直線垂直于 l ，則 ? 和 ? 垂直； （ 4）直線 l 與 ? 垂直的充分必要 條件是 l 與 ? 內(nèi)的兩條直線垂直?！?3???BOC ，則 CB、 兩點的球面距離＝ ?? ??33 9. （ 2020 湖北卷文） 如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ ACB=900,∠ ACC1=600,∠ BCC1=450,側(cè)棱 CC1的長為 1，則該三棱柱的高等于 A.21 B.22 C.23 D.33 【答案】 A 【解析】過頂點 A 作底面 ABC 的垂線，由已知條件和立體幾何線面關(guān)系易求得高的長 . 10. （ 2020 湖南卷文） 平面六面體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，既與 AB共面也與 1CC 共面的棱的條數(shù) 為【 C 】 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 解 :如圖，用列舉法知合要求的棱為： BC 、 CD 、 11CD、 1BB 、1AA ， 故選 C. 11. （ 2020 遼寧卷文） 如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯 060 緯線長和赤道長的比值為 （ A） （ B） （ C） （ D） 【解析】 設(shè)地球半徑為 R,則 北緯 060 緯線 圓的半徑為 Rcos60176。BE=31010 ，或由向量法可求。2020 年高考 文科 數(shù)學(xué)試題分類匯編 —— 立體幾何 一、選擇題 1. 1.(2020年廣東卷 文 )給定下列四個命題： ①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； ②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； . . 5. . m ④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直 . 其中，為真命題的是 A． ① 和 ② B． ② 和 ③ C． ③ 和 ④ D． ② 和 ④ 【答案】 D 【解析】 ①錯 , ②正確 , ③錯 , ④正確 .故選 D 2. （ 2020 浙江卷文） 設(shè) ,??是兩個不同的平面， l 是一條直線，以下命題正確的是（ ） A．若 ,l ? ? ???，則 l ?? B．若 / / , / /l ? ? ? ，則 l ?? C．若 , / /l ? ? ?? ，則 l ?? D．若 / / ,l ? ? ?? ，則 l ?? C 【命題意圖】此題主要考查立體幾何的線面、面面的位置關(guān)系，通過對平行和垂直的考查，充分調(diào)動了立體幾何中的基本元素關(guān)系． 【解析】對于 A、 B、 D 均可能出現(xiàn) //l ? ，而對于 C 是正確的． w. . s. . m 3.（ 2020 北京卷文）若正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底面邊長為 1， 1AB 與底面 ABCD成 60176。 6. （ 2020 江西卷文） 如圖， 在四面體 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，則在下列命題中，錯誤 ． ． 的為 A . AC BD? B . AC ∥截面 PQMN C . AC BD? D . 異面直線