函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法探究_畢業(yè)論文(存儲(chǔ)版)
【正文】 中的一個(gè)點(diǎn)列 ,那么根據(jù) BolzanoWeierstrass 定理 ,從它中間能挑出一個(gè)收斂的子列knx,設(shè)0lim knk xx?? ?,則 0x ? [, ]ab ,根據(jù) ()mrx的連 續(xù)性 ,我們有 0lim ( ) ( )km n mk r x r x?? ? （ 1,2m? … ） . ??2 另一方面 ,對(duì)于任意給定的 m ,總能找到充分大的 k ,使 knm? .于是 ,對(duì)于任意給定的 x ,就有 ( ) ( )kmnr x r x?,特別有 ( ) ( )k k km n n nr x r x?.因而 由 1得 ()kmnrx? ?,命k ??,就得 0()mrx?? （ 1,2m? … ） . 但 2 知 道 , 0()mrx＝ 00( ) ( ) 0mS x S x?? （ m?? ） , 這和⑥矛盾 ,從而證明了級(jí)數(shù)在 [, ]ab 上一致收斂于 ()Sx . 注 如果把定理中的有界閉區(qū)間 [, ]ab 換成開區(qū)間或者無窮區(qū)間 ,結(jié)論就可能不成立 .例如級(jí)數(shù)0nn x???的每一項(xiàng) nx 在區(qū)間 [0,1) 中非負(fù)且連續(xù) ,它的和函數(shù) 11x?也在 [0,1) 中連續(xù) ,但該級(jí)數(shù)在 [0,1) 中并不一致收斂 . 一致 L 條件判別法 下面討論1 ()nn ux???滿足一 致 L 條件 ,來探討1 ()nn ux???的一致收斂性 ,得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致 L 條件判別法 ： 定理 設(shè)函數(shù)列 { ()nux}在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) ,且存在一點(diǎn) 0x ? [, ]ab收斂 ,使得1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x 收斂；且1 ()nn ux???在閉區(qū)間 [, ]ab 上滿足一致 L 條件；則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . XXXXXXX(論文題目 ) [第 14 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 證 已知1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x ? [, ]ab 收斂 ,即任意 0?? ,存在 1()N? ,使得1()nN?? 時(shí) ,對(duì)任意 pN?? ,有 01 ()npkkn ux ???? ??； 又因?yàn)? ()nn ux???在閉區(qū)間 [, ]ab 上滿足一致 L 條件 ,即存在常數(shù) 0L? ,使得對(duì)于任意兩點(diǎn) 0, [ , ]x x a b? ,都有 0011( ) ( ) ( )n p n pkkk n k nu x u x L x x??? ? ? ?? ? ??? 存在 0()x? ＝ L? ,當(dāng) 0＜ 0xx? ＜ 0()x? 時(shí) ,對(duì)一切 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab ,有 0011( ) ( ) ( )n p n pkkk n k nu x u x L x x??? ? ? ?? ? ??? ? L. L? ＝ ? , 于是任意 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab , 001 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n p n p n p n pk k k kk n k n k n k nu x u x u x u x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 001 1 1( ) ( ) ( )n p n p n pk k kk n k n k nu x u x u x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 2? ? ?? ? ? . 即1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . 導(dǎo)數(shù)判別法 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 15 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 下面 探討在函數(shù)列 { ()nux}可微條件下 ,當(dāng)1 ()nn ux???? 在 [, ]ab 上一致收斂時(shí) ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???的一致收斂性 . 定理 設(shè)函數(shù)列 { ()nux}在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) ,可微 ,且存在一點(diǎn)0x ? [, ]ab 收斂 ,使得1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x 收斂；1 ()nn ux???? 在 [, ]ab 上一致 收斂；則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . 證 已知1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x ? [, ]ab 收斂 ,1 ()nn ux???? 在 [, ]ab 上一致收斂 ,即任意0?? ,存在 1()N? ,使得 1()nN?? 時(shí) ,對(duì)任意 pN?? ,有 01 ()npkkn ux ???? ??； 對(duì)任意 x? [, ]ab ,有 1 ()npkkn ux ????? ?? 根據(jù)拉格朗日中值定理 ,任意 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab ,有 001 1 1( ) ( ) ( )( )n p n p n pk k kk n k n k nu x u x u x x?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ()ba??? （ ? 介于 x 與 0x 之間） 于是任意 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab , 001 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n p n p n p n pk k k kk n k n k n k nu x u x u x u x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 001 1 1( ) ( ) ( )n p n p n pk k kk n k n k nu x u x u x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? XXXXXXX(論文題目 ) [第 16 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] ( ) ( 1 )b a b a? ? ?? ? ? ? ? ?. 即1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . 點(diǎn)列判別法 下面 ,把1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 歸結(jié)到點(diǎn)列的情況下來確定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 . 定理 1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ()Sx的充分必要條件是對(duì)任 點(diǎn)列 { nx } X? .都有 1lim ( ) ( ) 0nk n nn k u x S x?? ? ??? 證 ： 必要性 若1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 上一致收斂于 ()Sx,則 11( ) ( ) s u p ( ) ( ) 0nnkkxXkku x S x u x S x???? ? ? ???()n??. 于是對(duì)任意點(diǎn)列 {nx } X? ,都有 1 ( ) ( )nk n nk u x S x? ??? 1 ( ) ( )nkk u x S x? ??0? ()n?? . 充分性 （ 用反證法 ） 假設(shè)1 ()nn ux???在點(diǎn)集 X 上不一致收斂于()Sx,則 0 0???, N? , nN?? ,及 xX? ,使得 01 ( ) ( )nkk u x S x ?? ???.于是 ,取 1N? , 1 1n??與1nxX?,使1 1 1101 ( ) ( )nnn
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