【正文】 設(shè) ? ?yxf , ， ? ?yxfx ,? 在 ? ?bax ,? ， ??y 連續(xù)， ? ?dyyxf???? ,存在， ? ?dyyxfx ,?? ???對? ?bax ,? 一致收斂，則 ? ? ? ????? ? dyyxfxK , 在 ? ?ba, 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ? ? ? ? ? ?dyx yxfdyyxfdxdxK ?? ???? ????? ?? ,。 則積分 ? ? ? ?dyyxgyxf???? , 對 Xx? 一致收斂。它們之間的關(guān)系可以這樣敘述：對函數(shù)列的求和，就變成了函數(shù)項級數(shù)；而把函數(shù)項級數(shù)的每一項都拿出來，而組成的一組函數(shù)，就是函數(shù)列?？傊?，順利的完成論文，得益于老師、同學(xué)、朋友的無私幫助和鼓舞。通過這一段時間的接觸，使我受益匪淺。 結(jié)論 在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，我們把按照一定規(guī)律 排 成 的一列函數(shù)，叫做函數(shù)列。 一致收斂的判別法 定理 ]4[4 （ M 判別法） 設(shè)任意 Xx? ， ??y 有 ? ? ? ?yFyxf ?, ， 且 ? ????? dyyF收斂，則 ? ????? yxf ,對 Xx? 一致收斂。 含參變量廣義積分的一致收斂性定理 一致收斂的性質(zhì) 定理 ]6[1 （連續(xù)性定理） 設(shè) ? ?yxf , 在 ? ?bax ,? ， ??y 連續(xù)，積分 ? ? ? ????? ? dyyxfxK , 對 ? ?bax ,? 一致收斂，則 ? ? ? ?baCxK ,? 。 定理 ]5[11 （ M 判別法）（ Weierstrass 判別法 ） 有函數(shù)項級數(shù) ? ?xUnn???1， I 是區(qū)間。 從上述當(dāng)中的三個定理，可以了解到收斂的和函數(shù)在一致收斂的條件下，若收斂的函數(shù)項級數(shù)每一項都有分析性質(zhì)，那么，和函數(shù)也有同樣的分析性質(zhì)，但是，一致收斂不是和函數(shù)保持同樣分析性質(zhì)的必要條件。 此定 理也可以稱為逐項取極限定理。 證明：顯然 ???1n ? ?xnn 11? 在 ? ?1,0 內(nèi)收斂于 x1 。 定義 ]8[3 設(shè)函數(shù)項級數(shù) ???1n??xUn 在區(qū)間 I 收斂于和函數(shù) ??xS 。 定理 ]4[12 設(shè)函數(shù)列 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 上收斂于 ??xf ，且 ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，又存在自然數(shù) 1N ，使 1Nn? 時，對任意 ? ?bax ,? ，都有 ? ? ? ?xfxf nn 1?? （或 ? ? ? ?xfxf nn 1?? ） 成立，且 ??xfn 都在 ? ?ba, 上連續(xù)，則 ??? ?xfn 在 ? ?ba, 上一致收斂于 ??xf 。 推論 設(shè)存在 0?R ，使 ? ?? ?xfn 在 ? ?Rxx ?: 內(nèi)一致收斂于 ??xf ，又存在自然數(shù) N ，使對任意 Nn? ，都有 ? ? nnx Axf ???lim ， 則 ? ? nnx Axf ???? ? limlim ， 即 ? ? ? ?xfxf nxnnnx ???????? ? limlimlimlim ， 說明極限號??xlim與??nlim可以交換次序。 定理 ]1[6 設(shè) ??? ?xfn 在點集 X 上一致收斂于 ??xf ，又 ??xg 在 X 有界，則 ? ? ? ?? ?xgxf nn 在 X 上一致收斂于 ? ? ? ?xgxf 。 定理 ]2[3 ??? ?xfn 在點集 X 上一致收斂的充分必要條件是對任意 0?? ，都存在自然數(shù) N ，當(dāng)NnNm ?? , 時，恒有 ? ? ? ? ??? xfxf nm 成立。 則稱函數(shù)列 ???? xfn 在區(qū)間 I 一致收斂于極限函數(shù) ??xf 。 2021 年馬雪雅、齊曉波的《函數(shù)列的收斂與一致收斂》中，用函數(shù)列的收斂與一致收斂關(guān)系討論數(shù)學(xué)分析中的收斂問題； 2021 年陳妙玲的《函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法》將數(shù)項級數(shù)收斂的一些判別法推廣到判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂上來； 2021 年王秀紅的《含參變量廣義積分一致收斂 Heine 定理》當(dāng)中，從二元函數(shù)一致極限的角度出發(fā)，給出了含參變量廣義積分的一致收斂的 Heine 定理的證明及應(yīng)用。 緒論 本文從函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)、含參變量廣義積分三類的一致收斂性的定義出發(fā)，來研究一致收斂性的一系列定理及應(yīng)用。 Abstract .....................................................................................................錯誤 !未定義書簽。 本文利用定義來簡單的介紹一致收斂性， 利用柯西一致收斂準(zhǔn)則，證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法 。 函數(shù)列的一致收斂性定義 函數(shù)列的一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì) 函數(shù)列一致收斂的判別法 第 2 章 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 .......................................................錯誤 !未定義書簽。 一致收斂是保證和函數(shù)連續(xù)的重要條件，它也是保證和函數(shù)可積和可微的 重要條件。 函數(shù)列的 一致收斂性 定義 定義 ]1[ 設(shè)函 數(shù)列 ???? xfn 與函數(shù) ??xf 均定義在點集 X 上，若對 ? ? 0，都存在 自然數(shù) N 和x?X，恒有 ? ? ? ? ??? xfxfn 成立，則稱函數(shù)列 ???? xfn 在點集 X 上一致收斂于 ??xf 。 必要性 0??? ，由于 ???? xfn 在 X 上一致收斂于 ??xf ，故存在自然數(shù) N ,當(dāng) Nn? 時，Xx?? ， 都有 ? ? ? ?xfxfn ? 2?? 成立，因此有 sup ? ? ? ? ?xfxfn ? Xx?: ? ????2 成立，依據(jù)定義 ??nlim sup ? ? ? ? ?xfxfn ?Xx?: ? 0? 。 再證充分性 對于任意 0?? ，由已知，存在自然數(shù) N ，當(dāng) NnNm ?? , 時，恒有 ? ? ? ? 2??? xfxf nm 成立。 定理 ]5[7 設(shè) ??? ?xfn 在點集 X 上一致收斂于 0，又 ??? ?xgn 在 X 上往后一致有界，則函數(shù)列? ? ? ?? ?xgxf nn 在 X 上一致收斂于 0. 定理 ]5[8 設(shè) ??? ?xfn 與 ??? ?xgn 在 X 上分別一致收斂于 ??xf 與 ??xg ，且 ??xf 在 X 上有界，又存在 0?? ，使對任意 Xx? ，都有 ? ? ??xg 成立，則 ? ?? ??????? xg xfnn 在 X 上一致收斂于 ????xgxf ，且 ????xgxf 在 X 上有界。 定理 ]4[11 設(shè)存在自然數(shù) N 。 在之后的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性與含參變量廣義積分的一致收斂性的判別法當(dāng)中，它也是一個很重要的定理。 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件 定理 ]1[ ???1n??xUn 在點集 X 上一致收斂于 ??xS 的充分必要條件是 ? ? ? ? ???? ?????? ? 0:s upl i m 1 XxxSxU knkn 。 推論：設(shè) ???1n??xUn 在點集 X 上一直收斂，則 ??? ?xUn 在 X 上一致收斂于 0. 例 3 試讓 ???1n 2211xn? 在 ? ?1,0 內(nèi)不一致收斂。 a 和函數(shù)的連續(xù)性 定理 ]1[6 若函數(shù)項級數(shù) ???1n??xUn 在區(qū)間 I 一致收斂于和函數(shù) ??xS ，且 ??? Nn ， ??xUn 在區(qū)間 I 連續(xù)，則和函數(shù) ??xS 在區(qū)間 I 也連續(xù)。 一致收斂判別法 判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，通常有以下幾種方法：利用定義；利用 Cauchy 準(zhǔn)則；利用常用的幾種判別法 ；利用一致有界與等度連續(xù)等。 則函數(shù)項級數(shù) ? ? ? ?xbxannn???1在區(qū)間 I 一致收斂。 例 1 求 ? ?0,00 ???? ?? ?? badxx ee bxax 。 定理 ]10[6 設(shè) （ 1） 存在正常數(shù) M ，對任意 Xx? ， ??A ，有 ? ? MdyyxfA ??? , ； （ 2）對任意固定的 Xx? ， ? ?yxg , 是 y 的單調(diào)函數(shù)， ???y 時