20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學232空間向量基本定理-免費閱讀
【正文】 空間向量基本定理 課程目標 學習脈絡 1 . 了解空間向量基本定理及其意義 , 會在簡單問題中選用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量 . 2 . 使學生體會從平面到空間的過程 , 進一步培養(yǎng)學生對空間圖形的想象能力 . 空間向量基本定理 ( 1 ) 如果向量 e 1 , e 2 , e 3 是空間三個不共面的向量 , a 是空間任一向量 , 那么存在唯一一組實數(shù) λ 1 , λ 2 , λ 3 , 使得 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 . 空間中不共面的三個向量 e 1 , e 2 , e 3 叫作這個空間的一個 基底 . a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 表示向量 a 關于基底e 1 , e 2 , e 3 的 分解 . ( 2 ) 特別地 , 當向量 e 1 , e 2 , e 3 兩兩垂直時 , 就得到這個向量的一個正交分解 .當 e 1 = i , e 2 = j , e 3 = k 時 , 就是 標準正交分解 . 思考 如何正確理解空間向量基本定理 ? 提示 : ( 1 ) 空間向量基本定理表明 ,用空間三個不共面的已知向量可以線性表示出空間任意一個向量 ,而且表示的結果是唯一的 . ( 2 ) 空間任意三個不共面的向量 e1, e2, e3皆可構成空間向量的一個基底 ,因此 ,基底有無數(shù)個 ,所以基底的選擇范圍很廣 ,但在具體的題目或幾何體中往往選擇具有特殊關系的三個不共面向量作為基底 . ( 3 ) 由于 0 可視為與任意一個非零向量共線 ,與任意兩個非零向量共面 ,所以三個向量不共面 ,就隱含著它們都不是 0 . 探究一 探究二 探究三 基底的判斷 三個向量構成空間的一個基底的充要條件是不共面 .因此 ,要證明三個向量不共面 ,通常用反證法結合共面向量來證明 .具體解題時 ,可取空間不共面的四點 ,將其中之一作為起點與其他各點相連即可得到空間的一個基底 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 1 】 已知 e1, e2, e3是空間的一個基底 , 且 ?? ?? = e1+ 2 e2 e3, ?? ?? = 3 e1+ e2+ 2 e3, ?? ?? = e1+ e2 e3, 試判斷 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 能否作為空間的一個基底 ?若能 , 試以此基底表示向量 ?? ?? = 2 e1 e2+ 3 e3。 若不能 , 請說明理由 . 思路分析 :判斷 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 能否作為空間的一個基底 ,關鍵是判斷?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 是否共面 ,解決此題可利用反證法 . 解 :假設 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 共面 ,由向量共面的充要條件知存在實數(shù) x , y ,使?? ?? =x ?? ?? +y ?? ?? 成立 . ∴ e1+ 2 e2 e3=x ( 3 e1+ e2+ 2 e3) +y ( e1+ e2 e3) = ( 3 x+ y ) e1+ ( x + y ) e2+ ( 2 x y ) e3, ∴ e1, e2, e3是空間的一個基底 , ∴ e1, e2, e3不共面 , 探究一 探究二 探究三 ∴ 3 ?? + ?? =
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