20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行-免費(fèi)閱讀
【正文】 ( 2 ) PB ⊥ 平面 E F D. 1 2 3 4 5 證明 :如圖所示 ,建立空間直角坐標(biāo)系 , D 是坐標(biāo)原點(diǎn) ,設(shè) DC = a . ( 1 ) 連接 AC , AC 交 BD 于點(diǎn) G ,連接 E G. 依題意 , 得 A ( a , 0 , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), E 0 ,??2,??2 . ∵ 底面 A B C D 是正方形 , ∴ G 是正方形 A B C D 的中心 . 故點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 ??2,??2, 0 , 且 ?? ?? = ( a , 0 , a ), ?? ?? = ??2, 0 , ??2 . ∴ ?? ?? = 2 ?? ?? . ∴ PA ∥ E G. 而 EG ? 平面 E DB ,且 PA ? 平面 E DB , ∴ PA ∥ 平面 E DB . 1 2 3 4 5 ( 2 ) 依題意 ,得 B ( a , a , 0 ), ∴ ?? ?? = ( a , a , a ) . 又 ?? ?? = 0 ,??2,??2 , 故 ?? ?? ( 2 ) EG 是 PG 與 BC 的公垂線 . 思路分析 :證明面面垂直通常有兩種方法 ,一是利用面面垂直的判定定理 ,轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直證明 。 ?? ??1 =12( a + b + c ) ?? ?? = ( x2, y2, z2) ( 0 , 2 , 1 ) = 0 , ∴ n 1 ⊥ ?? ?? 1 . 又 F C 1 ? 平面 A DE , ∴ FC 1 ∥ 平面 A DE . ( 2 ) ∵ n 1 ∥ n 2 , ∴ 平面 A DE ∥ 平面 B 1 C 1 F. 探究一 探究二 探究三 點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用空間向量解答立體幾何問題應(yīng)注意處理和把握好以下兩大關(guān)系 :一是向量法和純幾何法在解題中相互融合滲透的關(guān)系 .大多數(shù)立體幾何解答題 ,既可以用向量法求解 ,也可以用幾何法求解 .二是用向量法解題時(shí) ,是選用基底向量 ( 不建立空間直角坐標(biāo)系 ), 還是通過建立空間直角坐標(biāo)系 ,選用坐標(biāo)向量的關(guān)系 ,根據(jù)題目含義而定 .對(duì)于出現(xiàn)垂直關(guān)系的特殊幾何體 ,如正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱、有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等 ,往往通過建立空間直角坐標(biāo)系解答 較為方便 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 4 】 如圖 , 在正方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F , G , H , M , N 分別是正方體六個(gè)面的中心 . 求證 : 平面 EFG ∥ 平面 HMN . 思路分析 :用向量證明面面平行有兩個(gè)途徑 :利用面面平行的判定定理 ,即證明一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量都平行另一個(gè)平面 。 ?? = 0 . ( 4 ) 解方程組 ,取其中的一個(gè)解 ,即得法向量 .由于一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè) ,故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量 . 確定平面的法向量通常有兩種方法 :① 幾何體中已經(jīng)給出有向線段 ,只需證明線面垂直 .② 幾何體中沒有具體的直線 ,此時(shí)可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 1 】 已知平面 α 經(jīng)過三點(diǎn) A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 2 , 0 , 1 ), C ( 3 , 2 , 0 ), 試求平面 α 的一個(gè)法向量 . 思路分析 :可采用待定系數(shù)法 ,設(shè)出法向量 ,根據(jù)它和 α 內(nèi)不共線兩個(gè)向量的垂直關(guān)系建立方程組進(jìn)行求解 . 解 : ∵ A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 2 , 0 , 1 ), C ( 3 , 2 , 0 ), ∴ ?? ?? = ( 1 , 2 , 4 ), ?? ?? = ( 2 , 4 , 3 ) . 設(shè)平面 α 的法向量是 n = ( x , y , z ), 依題意 ,應(yīng)有 n 直線與平面的垂直 ,常用直線的方向向量與平面的法向量共線來判斷 。 DA = 2 x1= 0 ,??1 ( 1 , 1 , 0 ) =x1+y1= 0 , 從而得 x1= y1= z1,設(shè) x1= 1 ,則 m = ( 1 , 1 , 1 ) . 設(shè)平面 HMN 的法向量為 n = ( x2, y2, z2), 則 n ?? ?? = ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) 1 + 1 0 = 0 , ∴ ?? ??1 ⊥ ?? ?? , ∴ BD1⊥ A C . ( 2 ) ?? ??1 = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ??1 = 12,12, 1 , ∴ ?? ??1 ( 0 , 2 , 2 ) = ( 1 ) 0 + ( 1 ) 2 + 1 2 = 0 , ?? ?? n = 0 ,故選 D . 答案 : D 1 2 3 4 5 2 . 如圖 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 , A C = 3 , B C = 4 , AB= 5 , AA1= 4 , 點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn) . 求證 :( 1 ) AC ⊥ BC1。 BE = 12x +12y +12z = 0 . 令 x= 1 ,可得平面 B DE 的一個(gè)法向量為 n1= ( 1 , 1 , 0 ) . ∵ AS ⊥ 底面 A B C D , ∴ 平面 A B C D 的一個(gè)法向量為 n2= ?? ?? = ( 0 , 0 , 1 ) . ∵ n1 ?? ?? = 1 1 = 0 , ?? ?? b ) =12( | b |2 | a |2+ 0 + 0 ) = 0 . ∴ ?? ?? ⊥ ?? ??1 ,即 EF ⊥ AB1. 同理 , EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法三 :設(shè)正
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