【正文】 公理集合的相容性 形式公理體系的相容性證明的模型方法 例如，平面幾何公理系統(tǒng)的解析模型 羅巴切夫斯基幾何學(xué)的模型相對(duì)相容性的解決方法選用一個(gè)，大家都相信它具有邏輯相容性的領(lǐng)域（比如上面這個(gè)代數(shù)領(lǐng)域），用這里的材料來(lái)保證陌生公理體系的相容性。 ? 例如，用公理 IV給出下述命題的證明： ? 命題：聯(lián)接圓內(nèi)的一點(diǎn) A與圓外一點(diǎn) B的直線段與該圓周有一個(gè)公共點(diǎn)。一旦我們證明了這個(gè)有關(guān)圓的命題，再利用仿射變換下 “ 平行 ” 為不變性，便可知原命題成立。歷史的事實(shí)卻殘酷的告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒(méi)能在物理空間找到應(yīng)用，只有在邏輯的范疇內(nèi)，利用公理化的思想與方法找到它存在的“ 合理性 ” 黎曼幾何在相對(duì)論中的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。 三角形三邊的中垂線并非必定交于一點(diǎn)。 于是，作得一個(gè)△ ABB1,而直線 AC經(jīng)過(guò)其內(nèi)部，所以 AC必與底邊 BB1相交。 他使用了傾斜坐標(biāo)系，建立了圓錐曲線的代數(shù)表述式。 三大作圖問(wèn)題與 《 圓錐曲線 》 三個(gè)作圖問(wèn)題： 倍立方，即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍； 三等分角，即分一個(gè)給定的任意角為三個(gè)相等的部分； 化圓為方，即作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。 （ 3） 等量減等量，余量仍相等。使整個(gè)幾何知識(shí)形成了一個(gè)演繹體系 公設(shè)：（ 1） 從任一點(diǎn)到任一點(diǎn)作直線是可能的。 四邊形的面積公式：（ a + c）（ b + d） /4（其中 a、 b、 c、 d依次表示邊長(zhǎng)）。在古希臘幾何學(xué)傳入中國(guó)之后，漢字用幾何一詞來(lái)稱謂這門學(xué)科，而漢語(yǔ)中 “ 幾何 ”具有 “ 多少 ” 的意思。標(biāo)志著人類科學(xué)研究的公理化方法的初步形成， 《 幾何原本 》 共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我們今天熟知的平面幾何和立體幾何的知識(shí)，其余各卷則是數(shù)論和（用幾何方法論證的）初等代數(shù)知識(shí)。（ 5） 若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無(wú)限延長(zhǎng)后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)（現(xiàn)今稱為平行公理）。這些方法是人類早期研究圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，在現(xiàn)代基礎(chǔ)教育中仍發(fā)揮著積極的作用。假定某幾何問(wèn)題歸結(jié)為尋求一個(gè)未知長(zhǎng)度 x，經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算知道 x滿足 x= ， 他畫(huà)出 x的方法如下：如圖 NLM，其中 LM=b , NL=a/2, 延長(zhǎng) MN到 O， 使 NO=NL=a/2。如圖 。 不存在相似而不全等的兩個(gè)三角形。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于 π “ 現(xiàn)實(shí)性 ” 直到 19世紀(jì)初，所有的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為歐氏幾何是物 質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確描述。我們不妨將原命題應(yīng)用仿射變換轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圓的命題：設(shè)△ ABC為圓內(nèi)接三角形，以其頂點(diǎn)作切線構(gòu)成了切線三角形A1B1C1。它們被當(dāng)作純粹抽象的東西，它們?cè)谘堇[系統(tǒng)中的性質(zhì)，完全用公理的形式加以界定 歐氏幾何公理體系的嚴(yán)密化 希爾伯特幾何公理體系被劃分為五組，用五組公理聯(lián)結(jié)三種對(duì)象及其間的三種關(guān)系（六個(gè)原始概念）。于是 OR不小于 r，否則我們能在 R和 B之間選 AB上的點(diǎn) S，使得 RS＜ r－ OR，但是，因?yàn)镺S＜ OR+RS，這意味著謬論： OS＜ r。 物化那些感知到的、在直觀的水平上有所把握的 “ 轉(zhuǎn)化 ” 關(guān)系 運(yùn)用圖形形象的描述問(wèn)題，利用直觀進(jìn)行思考。可證明：對(duì)每 一種情況， CP＜ CQ。 公理集合的性質(zhì) 相容性，即由公理導(dǎo)出的定理，沒(méi)有哪兩個(gè)是相互矛盾的； 完備性，即理論系統(tǒng)中的定理都可以從公理導(dǎo)出 獨(dú)立性，即由公理導(dǎo)出的定理中中沒(méi)有一個(gè)是另一個(gè)的邏輯 結(jié)果。 克萊因以射影幾何為基礎(chǔ)、對(duì)幾何學(xué)做了如下的分類： 射影幾何 仿射幾何 單重橢圓幾何 雙重橢圓幾何 雙曲幾何 （黎曼幾何） （羅巴切夫斯基幾何） 拋物幾何 其他仿射幾何 （歐幾里得幾何） 利用不變性研究圖形的性質(zhì)，為初等幾何的研究提供了新的方法。 圓內(nèi)接正六邊形的邊大于此圓半徑 幾何學(xué)的統(tǒng)一性與現(xiàn)實(shí)性 德國(guó)數(shù)學(xué)家年提出另一種 非歐幾何學(xué) ——黎曼幾何（黎曼。在 a與 A所決定的平面上，過(guò)點(diǎn) A而與 a不相交的直線，至少有兩條 羅巴切夫斯基非歐幾何命題 三角形內(nèi)角和都是小于 π 的，而且其和量因三角形而異，并非一個(gè)常量。 個(gè)等價(jià)命題的證明：如果任意三角形內(nèi)角和都等于 π ，那么過(guò)線 a外一點(diǎn) A只能引進(jìn)一條直線與 a不交。這兩位數(shù)學(xué)家敏銳地看到歐氏幾何方法的局限性，認(rèn)識(shí)到利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，是改變傳統(tǒng)方法的有效途徑。 從現(xiàn)代公理化方法的角度來(lái)分析， 《 原本 》 的公理化體系 存在著以下一些缺陷。）（ 3） 以任一點(diǎn)為中心和任一距離為半徑作一圓是可能的。阿基米德從物理的方法發(fā)現(xiàn)：拋物線被 Qp截得的拋物線弓形的面積，與三角形 QPq的面積之比是 4： 3。第五章 幾何學(xué)的發(fā)展 形的認(rèn)識(shí) 形是人類對(duì)生存空間形式的直接認(rèn)識(shí) 從無(wú)規(guī)則圖形逐漸制造出一些規(guī)則的形體，形成抽象意義下的幾何圖形。 阿基米德的雙重方法 ——用力學(xué)原理發(fā)現(xiàn)公式，再用窮竭法加以證明 [插入圖 ] 如圖 PQq，其中 P與 Qp中點(diǎn) V的連線平行于拋物線的軸。（注意，這里所謂的直線，相當(dāng)于今天我們所說(shuō)的線段。 （ 5） 整體大于部分。 其中包括 圓錐曲線理論 梅內(nèi)克繆斯（約公元前 4世紀(jì)）最先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線： [插入圖 ] 阿波羅尼斯的 《 圓錐曲線論 》 將圓錐曲線的性質(zhì)全部囊括 其中圓錐曲線的定義方法如下： [插入圖 ] 坐標(biāo)幾何與曲線方程思想 17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立的。發(fā)現(xiàn)了羅巴切夫斯基幾何學(xué) 第五公設(shè)及其等價(jià)命題 等價(jià)命題 普萊菲爾的平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)只能作一條直線平行于該直線三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角； 每個(gè)三角形的內(nèi)角和都相同； 通過(guò)一角內(nèi)任一點(diǎn)可以作與此角兩邊相交的截線； 存在兩個(gè)相似而不全等的三角形； 畢達(dá)哥拉斯定理； 過(guò)不在一直線上的三點(diǎn)可作一圓； 圓內(nèi)接正六邊形的一邊等于此圓的半徑； 四邊形的內(nèi)角和等于四個(gè)直角； 一。 [插入圖 ] 離開(kāi)了求證第五公設(shè)的目標(biāo)，朝向創(chuàng)造非歐幾何的目標(biāo)靠攏但是，他們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到歐幾里得幾何并不是在經(jīng)驗(yàn)可證實(shí)的范圍內(nèi)描述物質(zhì)空間性質(zhì)的唯一幾何 奇異的羅巴切夫斯基幾何學(xué) 羅巴切夫斯基非歐幾何的平行公理：設(shè) a是任一直 線， A是 a外任一定點(diǎn)。 在任一角內(nèi)，至少存在這樣一點(diǎn)，通過(guò)它不能做出一條同時(shí)與兩邊相交的直線。 ” 愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng) 1