高二數(shù)學(xué)幾何學(xué)的發(fā)展(存儲(chǔ)版)
【正文】 9世紀(jì)初，運(yùn)用歐幾里得綜合方法，創(chuàng)造出與解析幾何相媲美的射影幾何學(xué) 愛爾蘭根綱領(lǐng)（克萊因， 1872年）：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問，或者說任何一種幾何只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。分析的算術(shù)化研究不斷深入，逐漸形成了科學(xué)的公理化方法。線段 AB上的點(diǎn) 可被分為兩類：對(duì)于一些點(diǎn) P， OP＜ r， 和對(duì)于一些點(diǎn) Q， OQ≥ r。空間想象是指能夠在二、三維空間的條件下對(duì)想象的物體運(yùn)動(dòng)，如反射、平移、旋轉(zhuǎn)等操作 對(duì)周圍的環(huán)境直接感知的基礎(chǔ)上觀察、想象、比較、綜合、抽象分析等眾多思維方法，達(dá)到對(duì)空間與平面相互關(guān)系的理解和把握。類似地，能證明：OR不大于 r。如果在這個(gè)公理體系中去掉第三種幾何基本對(duì)象（ “ 平面 ” ）以及與它有關(guān)的各條公理，余下來的公理和五個(gè)原始概念就可以構(gòu)成一個(gè) “ 平面幾何的公理系統(tǒng) ” 。如果 A1B1∥ AB. B1C1∥ BC。并且 “ 空間 ”也專指當(dāng)時(shí)人們所唯一了解的歐幾里得空間 羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題的合理性就不斷 引起人們的懷疑。 如果兩個(gè)三角形的各內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，則它們必定是全等的。 假如另有一條直線 AC與 a不交，記銳角∠ BAC為－，在直線 a上取點(diǎn) B1，使 B C在 AB同側(cè)，且使 ∠ AB1B=α ＜ 。于是 x就是OM 的長度。 舉例如下： 畢德哥拉斯定理， 《 原本 》 使用幾何的證法如下： 如圖 ，先證明△ ABD△ FBC， 推得矩形BL與正方形 GB等積。 公理： （ 1） 跟一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。全書證明了 465個(gè)命題。 經(jīng)驗(yàn)公式 古埃及人有計(jì)算矩形、三角形和梯形面積的方法 三角形面積用一數(shù)乘以另一數(shù)的一半來表示 圓面積的計(jì)算公式是 A = (8d/9)2，其中 d是直徑。這就等于取 π 為 。 《 原本 》 的公理化體系 《 原本 》 的公理化體系：全書先給出若干條定義和公理，再按由簡到繁的順序編排出一系列的定理 (465個(gè)命題 )。 （ 2） 等量加等量，總量仍相等。同理推得矩形 CL與正方形 AK等積。 [插入圖 ] 曲線與方程的思想明確指出：幾何曲線可以用唯一的 含 x和 y有限次代數(shù)方程來表示的曲線 2242 baa ??費(fèi)馬的工作 費(fèi)馬關(guān)于曲線與方程的思想，源于對(duì)阿波羅尼茲圓錐曲線的研究。 按假設(shè)，直角△ ABB1內(nèi)角和等于 π ，所以 ∠ B1AB=－ a＞ ∠ CAB=－，（因?yàn)?α ＜）。 存在著沒有外接圓的三角形。非歐幾何早期的發(fā)現(xiàn)者們?yōu)榱蓑?yàn)證它的合理性，曾作過一些實(shí)際的測定。那么A1C1∥ AC。 希爾伯特公理集可以排除歐氏幾何證明中的直觀成分。因此，我們必定有 OR = r，于是定理得證。 厐加萊不無挪揄的指出：為了防止狼，牧羊人修起了柵欄 ， 但卻不知道羊圈里是否還有狼 學(xué)校中歐氏幾何的教育 中學(xué)歐氏幾何的教學(xué)的目的，主要有兩種類型： 發(fā)展學(xué)生的演繹推理的能力， 培養(yǎng)空間想象和空間推理能力 幾何邏輯思維發(fā)展的培養(yǎng)模式 ?平面幾何的課程體系就成為邏輯思維發(fā)展的主要思維材料 ?課程體系要適應(yīng)幾何思維發(fā)展的需要 ?在整合狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)概念、定理的認(rèn)知發(fā)展 ?注意數(shù)學(xué)方法的中介作用 ?組織問題解決的思維訓(xùn)練 空間觀念的培養(yǎng)策略 空間能力主要包括空間定向和空間想象能力 前者是理解空間中對(duì)象的相互位置關(guān)系，并能對(duì)其進(jìn)行操作，例如能夠在大樓里或街道之間順利地行進(jìn)。 圖 圓內(nèi)外兩點(diǎn)連線必與圓相交的證明 事實(shí)上，令 O為給定圓的圓心， r為半徑， C為從 O到 AB線段的垂線。 幾何基礎(chǔ)與公理化方法 公理化方法 非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)家注意到古希臘把公理當(dāng)作自明的真理的局限性。 愛因斯坦說： “ 我特別強(qiáng)調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點(diǎn)，因?yàn)橐菦]有它，我就不能建立相對(duì)論。 在平面上一條已知直線 a的同一側(cè)，與已知線 a有給定距離的點(diǎn)的 軌跡是一曲線，它上面的任意三點(diǎn)都不在一條直線上。這與 AC與 a不相交的假設(shè)矛盾 i\ 非歐幾何學(xué)的先兆 從反面證明第五公設(shè)，意大利耶穌會(huì)教士、數(shù)學(xué)家薩凱里（ 1667~1733）于 1733年第一次發(fā)表了其極具特色的成果。 羅巴切夫斯基幾何學(xué) 在歐幾里得幾何學(xué)中第五公設(shè)（即平行公理）的研究過程中，人們不自覺地將得到了許多第五公設(shè)的等價(jià)命題。 直到 19世紀(jì)，才證實(shí)了只用圓規(guī)和直尺來求解這三個(gè)作圖題的不可能性，然而對(duì)這三個(gè)問題的深入探索引出大量的發(fā)現(xiàn)。 （ 4） 彼此重合的東西是相等的。（ 2） 把有限直線不斷循直線延長是可能的。 高為 h、底邊長為 a和 b的方棱錐的平頭截體的體積公式： V = (1/3) h (a2 + ab +b2) 求積方法 勾股術(shù)與圖證 [插入圖 ] “析理以辭，解體用圖 ” —— “弦圖 ” [插入圖] 大方 = 弦方 + 2矩形， （ 1） 大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形， （ 2） 比較（ 1）與（ 2），得 弦方 = 勾方 + 股方。 圖 從立體圖形到平面圖形 圖騰崇拜和宗教禮儀 測量與幾何 在幾何發(fā)展最早的古代埃及，幾何一詞具有 “ 土地測量 ” 的含義。阿基米德進(jìn)而使用窮竭法證明 多邊形數(shù) [插入圖 ] [插入圖 ] [插入圖 ] 最早的演繹幾何學(xué) 《 幾何原本 》 （約公元前 300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得）建立了第一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系 ——幾何學(xué)。（ 4） 所有直角彼此相等。 沒有認(rèn)識(shí)到公理化的體系一定建立在一些原始概念上 《 原本 》 的公理集合是不完備的，這就使得歐幾里得在推導(dǎo)命題過程中，不自覺地使用了物理的直觀概念 . 但是建立在圖形直觀上的幾何推理肯定是不可靠的 例如 , 每一個(gè)三角形都是等腰的 “ 證明 ” [插入圖 ] 《 原本 》 中的幾何方法 《 原本 》 在證明相關(guān)結(jié)論中使用了多種幾何方法，如 ,疊合法 ,歸謬法 ,代數(shù)式的幾何證法 ,等等。 并為此開始了各自的研究工作，把代數(shù)方程和曲線、曲面的研究聯(lián)系在一起 笛卡爾的工作 幾何學(xué) 》 是笛卡爾哲學(xué)思想方法實(shí)踐的重要結(jié)果 首先運(yùn)用代數(shù)方法解決作圖的問題，指出，幾何作圖 實(shí)質(zhì)是對(duì)線段作加減乘除或平方根的運(yùn)算，所以它們都可以用代數(shù)的術(shù)語表示。
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