55二次曲線系的合成與分解-免費閱讀
【正文】 (Ⅱ )設(shè) Q(m,n),則直線 QA:nx(m2)y2n=0,由直線 QA過點 C(0,1)? m=2(1n)? 直線 QA:x+2y2=0,Q(2(1n),n)? 直線QB:nx2(2n)y+2n=0。 (Ⅱ )已知點 B(1,0),設(shè)不垂直于 x 軸的直線 l 與軌跡 C 交于不同的兩點 P,Q,若 x 軸是 ∠ PBQ 的角平分線 ,證明直線 l 過定點 . 8.(2020年 遼寧 高考試題 )已知 橢圓 C 過點 A(1,23),兩個焦點為 (1,0),(1,0). (Ⅰ )求橢圓 C 的方程 。 (Ⅱ )求線段 PQ 的中垂線 l在 x軸上的截距的取值范圍 . [解析 ]:(Ⅰ )設(shè)直線 BP:kxy+1=0,BQ:x+kyk=0,則由橢圓和直線 CD、 EF合成的二次曲線系 G:x2+4y24+λ (kxy+1)(x+ky k)=0? (1+λ k)x2+λ (k21)xy+(4λ k)y2+λ (1k2)x+2λ ky4λ k=0,當(dāng)二次曲線系 G分解為直線 PQ 與橢圓在點 B處 的切線 (y=1)的方程之積時 (由 (y1)(ax+by+c)=0中不含 x2項 )? 1+λ k=0? 曲線系 G:(k+1)xy+5y2+(1+k)x2y3=0? (k+1) ? x(y1)+(y1)(5y+3)=0? (y1)[(k+1)x+5y+3]=0? 直線 PQ:(k+1)x+5y+3=0 恒過定 點 N(0,53 )? M 的軌跡 是以 BN為直徑的圓 (除去點 B),其方程為 x2+(y1)(y+53)=0。[中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 ](第 0001號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 :13965261699) 二次曲線系的合成與分解 圓錐曲線上完全四邊形 問題 的 曲線系解 法 我們把由圓錐曲線上的四點中的任意兩點的連線共六 條直線及它們的 七 個交點所構(gòu)成的圖形 ,叫做圓錐曲線上的完全四邊形 。 (Ⅱ )設(shè) 直線 PQ:y=tx53,代入42x+y2=1 得 :(1+4t2)x2524tx2564=0?221 xx?=)41(5 122tt?? 221 yy? =)41(5 3 2t?? 中垂線l:y+)41(5 3 2t?=t1(x)41(5 122tt?)? 在 x軸上的截距 b=)41(5 9 2tt?∈ [209,209]. [點評 ]:利用曲線系的合成與分解解決 圓錐曲線上的完全四邊形 問題的一個關(guān)鍵點是 構(gòu)造“直線對” ,即圓錐曲線上的完全四邊形的每組相對的邊構(gòu)成一對“直線對” ,兩條對角線構(gòu)成一對“直線對” 。 (Ⅱ )E,F 是橢圓 C 上的兩個動點 ,如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù) ,證明 :直線 EF 的斜率為定值 ,并求出這個定值 . : :以 點 O 為坐標(biāo)原點 ,直線 AB 為 x 軸 ,建立直角坐標(biāo)系 ,設(shè)圓 Γ :x2+y2+dx+ey+f=0,直線 CD:xt1y=0,EF:xt2y=0,則 由圓 Γ 和直線 CD、 EF 合 成 的 二次曲線系 G:x2+y2+dx+ey+f+λ (xt1y)(xt2y)=0,當(dāng) 二 次曲線系 G 分解為直線 CF 與 DE 的方程之積 時 ,令 y=0 得 :(1+λ )x2+dx+f=0,即 點 I和點 J的橫坐標(biāo)滿足二次方程 (1+λ )x2+dx+f=0? xi+xj=??1d,xixj=??1f ? ||1OI ||1OJ =ix?1jx1=
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