55二次曲線系的合成與分解(已改無錯(cuò)字)
2022-12-16 05:33:53 本頁面
【正文】 x 軸 ,建立直角坐標(biāo)系 ,設(shè)圓 Γ :x2+y2+dx+ey+f=0,直線 CD:xt1y=0,EF:xt2y=0,則 由圓 Γ 和直線 CD、 EF 合 成 的 二次曲線系 G:x2+y2+dx+ey+f+λ (xt1y)(xt2y)=0,當(dāng) 二 次曲線系 G 分解為直線 CF 與 DE 的方程之積 時(shí) ,令 y=0 得 :(1+λ )x2+dx+f=0,即 點(diǎn) I和點(diǎn) J的橫坐標(biāo)滿足二次方程 (1+λ )x2+dx+f=0? xi+xj=??1d,xixj=??1f ? ||1OI ||1OJ =ix?1jx1=ji ji xxxx? =fd 。又在 x2+y2+dx+ey+f=0中 ,令 y=0得 :x2+dx+f=0? xA+xB=d,xAxB=f?||1OA||1OB =fd ? ||1OA||1OB=||1OI||1OJ. :(Ⅰ )橢圓方程 :22ax+2 2)( bry?=1,焦點(diǎn) F1( 22 ba ? ,r),F2( 22 ba ? ,r),離心率 e=221 ab?。 (Ⅱ )將 y=k1x代入22ax+2 2)( bry?=1得 :(a2k12+b2)x22a2k1rx+a2r2a2b2=0? x1+x2=2212 122 bka rka?,x1x2=2212 222 )( bka bra ???21 211 xx xxk?=rbr222?。 同理可得43 432 xx xxk?=rbr222? ? 21 211 xx xxk?=43 432 xx xxk?。 (Ⅲ )由橢 圓和直線 CD、 GH 合 成 的 二次曲線系 G:b2x2+a2(yr)2a2b2+λ (k1xy)(k2xy)=0,當(dāng) 二次曲線系 G 分解為直線 CH 與DG的方程之積 時(shí) ,令 y=0得 :(b2+λ k1k2)x2+a2r2a2b2=0,即 點(diǎn) P和點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)滿足二次方程 (b2+λ k1k2)x2+a2r2a2b2=0? xP+ xQ=0? xP=xQ? |OP|=|OQ|. :設(shè) P(4,t),則直線 PA:y=6t(x+2)? tx6y+2t=0,直線 PB:y=2t(x2)? tx2y2t=0,因過直線 PA、 PB 與圓的交點(diǎn)的曲線系為 :x2+y24+λ (tx6y+2t)(tx2y2t)=0? (1+λ t2)x28λ txy+(1+12λ )y2+8λ ty4λ t24=0,該曲線系退化為直線AD:y=0與直線 MN的方程 ? 4λ t24=0? λ =21t? 曲線系 :y[t8 x+(1212t)yt8]=0? 直線 MN:t8x+(1212t)yt8=0過定點(diǎn) (1,0). :(Ⅰ )x=29。(Ⅱ )T(7,310)。 (Ⅲ )直線 AT:mx12y+3m=0,直線 BT:mx6y3m=0,因過直線 TA、 TB 與 橢 圓的交點(diǎn)的曲線系為 :5x2+9y245+λ (mx12y+3m) (mx6y3m)=0? (5+λ m2)x218λ mxy+(9+72λ )y2+18λ my9λ m245=0,該曲線系退化為直線 AB:y=0與直線 MN 的方程 ? 5+λ m2=0? λ =25m? 曲線系 :y[m90 x+9(1240m)ym90]=0? 直線 MN:m90x+9(1240m)ym90=0過定點(diǎn) (1,0)
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