【正文】 出現(xiàn)這種情況的物理條件是系統(tǒng)有剛體位移或自由 自由邊界 。 記 {}{}{}abXXX??? ???? 將其正規(guī)化 ， 即得到第 i 階重特征值的振型 。 因此多自由度有阻尼振動系統(tǒng)的求解非常困難 。 （ 4） 對初始條件 標準 化 。 解 : （ 1） 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ?????? 系統(tǒng)對初始激勵的響應 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 42 （ 2） 2 2 21 2 30. 19 8 , 1. 55 5 , 3. 24 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X???????????? 系統(tǒng)對初始激勵的響應 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 43 （ 3） 求正則振型矩陣： ( 1 ) ( 1 )1 { } [ ] { } 9 . 2 9 6TM X M X m??( 2 ) ( 2 )2 { } [ ] { } 1 . 8 4 1TM X M X m??( 3 ) ( 3 )3 { } [ ] { } 2 . 8 6 3TM X M X m??( 1 ) ( 1 )10 . 3 2 811{ } { } 0 . 5 9 10 . 7 3 7NXXMm?????? ?????? 系統(tǒng)對初始激勵的響應 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 44 ( 3 ) ( 3 )30 . 5 9 111{ } { } 0 . 7 3 70 . 3 2 8NXXMm????? ? ???????0 . 3 2 8 0 . 7 3 7 0 . 5 9 11[ ] 0 . 5 9 1 0 . 3 2 8 0 . 7 3 70 . 7 3 7 0 . 5 9 1 0 . 3 2 8NQm???????? ??? 系統(tǒng)對初始激勵的響應 ( 2 ) ( 2 )20 . 7 3 711{ } { } 0 . 3 2 80 . 5 9 1NXXMm?????? ???????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 45 （ 4） 對初始條件正則化： 00{ } [ ] [ ] { }TNNZ Q M x?0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 0 . 7 3 7 1 1 . 6 5 60 . 7 3 7 0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 1 0 . 4 7 40 . 5 9 1 0 . 7 3 7 0 . 3 2 8 1 0 . 1 8 2mm? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? 系統(tǒng)對初始激勵的響應 00{ } [ ] [ ] { }TNNZ Q M x?0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 0 . 7 3 7 0 00 . 7 3 7 0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 0 00 . 5 9 1 0 . 7 3 7 0 . 3 2 8 0 0m? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 46 （ 5） 正則坐標下的初始激勵響應 101 1 0 1 11c o s s inNNN ZZ Z t t?????11 . 6 5 6 c o smt ??220 . 4 7 4 c o sNZ m t??330 . 1 8 2 c o sNZ m t?? 系統(tǒng)對初始激勵的響應 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 47 （ 6） 廣義坐標下的初始激勵響應 { } [ ] { }NNx Q Z?0 .3 2 8 0 .7 3 7 0 .5 9 110 .5 9 1 0 .3 2 8 0 .7 3 70 .7 3 7 0 .5 9 1 0 .3 2 8m???????????1231 .6 5 6 c o s0 .4 7 4 c o s0 .1 8 2 c o stmtt?????????????1 2 31 2 31 2 30 . 5 4 3 c o s 0 . 3 4 9 c o s 0 . 1 0 7 c o s0 . 9 7 9 c o s 0 . 1 5 5 c o s 0 . 1 3 4 c o s0 . 1 2 2 c o s 0 . 2 8 c o s 0 . 0 5 9 c o st t tt t tt t t? ? ?? ? ?? ? ???????? ? ???????作業(yè)：用本節(jié)方法做 T629 系統(tǒng)對初始激勵的響應 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 48 無阻尼系統(tǒng)的強迫振動 無阻尼系統(tǒng)的強迫振動 求解強迫振動響應的方法是前面的坐標變換方法 ， 稱為 振型迭加法 或稱 模態(tài)分析法 。 主坐標 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 38 設振動系統(tǒng)的初始條件為 {x0}和 系統(tǒng)對初始激勵的響應 系統(tǒng)對初始激勵的響應 對其進行正則坐標變換 ， 轉換為標準坐標（ 正則坐標 ） 下的初始條件 : }{ 0x?10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 39 利用單自由度的響應公式可得到初始激勵下的正則坐標響應 : 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????（ i＝ 1， 2， … n） 再變換到廣義坐標 {x}下的響應 ()1{ } [ ] { } { }niN N N N iix Q Z X Z??? ?上述過程也可以在主坐標下進行 。 例如給出 t＝ 0時的位移向量 {x0}和速度向量 {v0} ， 則得到含有 2n個方程的方程組 ()1{ } { } ( sin c os )nii i i iix X A t B t??????()01()01{ } { } si n{ } { } c osniiiinii i iix c Xv c X??????? ?????????()01()01{ } { }{ } { }niiiniiiix B Xv A X????? ?????????或 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 22 【 T626】 圖示系統(tǒng)中 , m1＝ m2＝ m3＝ m, k1＝ k2＝ k3＝ k, 設初始位移為 1, 初始速度為 0, 求初始激勵的自由振動響應 。 如在 A2格輸入 =w^35*w^2+6*w1 (3)“工具 ” “單變量求解 ” … (只能求第一固有頻率 ) (4)高階特征值的求解要用 “ 工具 ” “規(guī)劃求解 ” … 固有頻率為： 2 2 21 2 30 .1 9 8 , 1 .5 5 5 , 3 .2 4 7? ? ?? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 15 分別代入 ([K]?2[M]){X}=0得： ( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X????????????作業(yè)： T613 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 16 由于固有振型 {X(i)} 只是振幅的比例關系 ，各階振型均有一個未確定的常數(shù)比例因子 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 11 將每個特征根 ?i（ 固有頻率 ） 代入廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}, 可得到相應的非零向量 {X(i)}, 稱為 特征矢量 ,或稱 特征向量 、固有振型 、 固有向量 、 模態(tài)向量 等 。 2 2 2 21 1 3 3 21 1 1 12 2 2 2T m x m x m r ?? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 6 多自由度系統(tǒng)的運動微分方程式 1223001[ ] 0 0200mM m rm?????????????1 2 222 2 3 3330[ ] ( )0k k k rK k r k k r k rk r k??????? ? ? ??? ???2 2 21 1 2 1 3 31 1 1( ) ( )2 2 2V k x k x r k x r??? ? ? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 7 對于有分支結構的 mkc振動系統(tǒng) ， 可以用直觀目測方法直接形成振動系統(tǒng)的 [M