【正文】 響應 。 系統對初始激勵的響應 第 6章 多自由度系統的振動 40 無阻尼系統對初始激勵的響應分析步驟 : （ 1） 建立 振動 方程 ， 確定質量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]。 第 6章 多自由度系統的振動 34 對振動方程用振型矩陣進行變換 用主坐標表示的運動方程 { } [ ] { }x Q Z?代入方程后左乘 [Q]T得 [ ] { } [ ] { } { 0 }ppM Z K Z??或 0i i i iM Z K Z??2 0i i iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 主坐標 這樣原方程就變成了 n個獨立的 (解耦的 )固有頻率為 ?i的簡諧振動 ， 這組廣義坐標 {Z}稱為 主坐標 。 解： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ??????第 6章 多自由度系統的振動 23 前面的例題已經求得： 2 2 21 2 30. 19 8 , 1. 55 5 , 3. 24 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X????????????第 6章 多自由度系統的振動 24 則響應為： 3()1{ } { } ( sin c os )i i i i iix X A t B t??????將振型代入并展開： 1 1 1 1 1s i n c o sx A t B t????2 2 2 2s i n c o sA t B t????3 3 3 3s i n c o sA t B t????第 6章 多自由度系統的振動 25 2 1 1 1 11 . 8 0 2 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 4 4 5 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 31 . 2 4 7( s i n c o s )A t B t????3 1 1 1 12 . 2 4 7 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 8 0 2 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 30 . 5 5 5 ( s i n c o s )A t B t????第 6章 多自由度系統的振動 26 解出各系數即可 … 1 2 3 1B B B? ? ?1 2 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 1B B B? ? ?1 2 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 1B B B? ? ?1 1 2 2 3 3 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 0A A A? ? ?? ? ?代入初始條件得： 作業(yè)： T628 第 6章 多自由度系統的振動 27 由廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}知 主振型的正交性 主 振型的正交性 ( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }iiiK X M X??( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }jjjK X M X??兩邊分別左乘 {X(j)}T 和 {X(i)}T得到 第 6章 多自由度系統的振動 28 與第一式相減得： ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T iiX K X X M X??由于 [K]和 [M]都是對稱陣 ， 上面第二式可寫為 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }i T j i T jjX K X X M X??2 2 ( ) ( )0 ( ) { } [ ] { }j T iij X M X???? 主 振型的正交性 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T ijX K X X M X??第 6章 多自由度系統的振動 29 顯然也有： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX K X ?（ i≠j） 結論：當剛度矩陣 [K]和質量矩陣 [M]都是對稱陣時 ， n個固有頻率對應的固有振型之間關于 [K]和 [M]都是正交的 。 第 6章 多自由度系統的振動 18 對方程 ([K]－ ?2[M]){XN}={0}兩邊左乘 {XN(i)}T 可得到 ( ) ( ) 2{ } [ ] { }i T iN N iX K X ?? 注意： 這里的 {XN(i)}均為正規(guī)化后的振型 ， 而不是求解的原始主振型 {X(i)} 。通常假設振型的某個元素為 1， 則其它元素就可以表示為此元素的倍數 ， 這種方法或過程就是振型的基準化 。 多自由度系統的運動微分方程式 第 6章 多自由度系統的振動 13 解：代入數值得 代入 |[K]?2[M]|=0得： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1M???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1K?????? ? ??????6 4 25 6 1 0? ? ?? ? ? ? 理論求解很困難 ， 一般通過試算或利用工具軟件 ， 如 Excel、 MATLAB、 Mathematica等 。 顯然 : 和兩自由度一樣 ， 由上式只能求出振幅的比值 ， 而不能確定各振幅大小 。 作業(yè)： T69， 611 多自由度系統的運動微分方程式 m1 m2 m3 m4 m5 k1 k2 k3 k4 k5 k8 k9 k10 k6 k7 第 6章 多自由度系統的振動 9 無阻尼自由振動的運動方程為 主 振型 方程式 特征值和特征向量 [ ] { } [ ] { } { 0 }M x K x?? 利用兩自由度系統的分析結果 ， 假設方程解的形式為 ? ?{ } s i n ( )x X t????第 6章 多自由度系統的振動 10 代入振動方程得到廣義特征值問題： [K]?2[M]稱為 特征矩陣 。 2. [K]或 [C]中的主對角線元素 kii或 cii為連接在質量 mi上所有彈簧剛度或阻尼系數的代數和 。 多自由度系統的運動微分方程式 多自由度系統的運動微分方程式 第 6章 多自由度系統的振動 4 【 T610】 求系統的微振動微分方程 。第 6章 多自由度系統的振動 1 第 6章 多自由度系統的振動 第 6章 多自由度系統的振動 2 多自由度系統指的是可以用有限個自由度描述的振動系統 。 第 6章 多自由度系統的振動 3 建立振動系統運動微分方程的方法 ，包括一般的動力學方法 、 影響系數法 （ 剛度影響系數和柔度影響系數 ） 、 拉格朗日方程和能量方法等 。 2 2 2 21 1 3 3 21 1 1 12 2 2 2T m x m x m r ?? ? ?第 6章 多自由度系統的振動 6 多自由度系統的運動微分方程式 1223001[ ] 0 0200mM m rm?????????????1 2 222 2 3 3330[ ] ( )0k k k rK k r k k r k rk r k??????? ? ? ??? ???2 2 21 1 2 1 3 31 1 1( ) ( )2 2 2V k x k x r k x r??? ? ? ? ?第 6章 多自由度系統的振動 7 對于有分支結構的 mkc振動系統 ， 可以用直觀目測方法直接形成振動系統的 [M]、 [K] 、 [C]: 1. [M]為各個質量形成的對角陣 。 多自由度系統的運動微分方程式 第 6章 多自由度系統的振動 8 例：用直觀目測方法直接形成標準 mkc自由振動系統的 [M]、[K]。 第 6章 多自由度系統的振動 11 將每個特征根 ?i（ 固有頻率 ） 代入廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}, 可得到相應的非零向量 {X(i)}, 稱為 特征矢量 ,或稱 特征向量 、固有振型 、 固有向量 、 模態(tài)向量 等 。 求固有頻率和振型 。 如在 A2格輸入 =w^35*w^2+6*w1 (3)“工具 ” “單變量求解 ” … (只能求第一固有頻率 ) (4)高階特征值的求解要用 “ 工具 ” “規(guī)劃求解 ” … 固有頻率為： 2 2 21 2 30 .1 9 8 , 1 .5 5 5 , 3 .2 4 7? ? ?? ? ?第 6章 多自由度系統的振動 15 分別代入 ([K]?2[M]){X}=0得： ( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2