[工學(xué)]6-多自由度振動(dòng)-預(yù)覽頁
【正文】 X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X????????????作業(yè)： T613 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 16 由于固有振型 {X(i)} 只是振幅的比例關(guān)系 ，各階振型均有一個(gè)未確定的常數(shù)比例因子 。 通常規(guī)定 {XN(i)}滿足條件 ( ) ( ){ } [ ] { } 1i T iNNX M X ? 滿足這個(gè)限制條件的振型 {XN(i)}稱為 標(biāo)準(zhǔn)化 （ 或正規(guī)化 、 歸一化 ） 的振型 。 例如給出 t＝ 0時(shí)的位移向量 {x0}和速度向量 {v0} ， 則得到含有 2n個(gè)方程的方程組 ()1{ } { } ( sin c os )nii i i iix X A t B t??????()01()01{ } { } si n{ } { } c osniiiinii i iix c Xv c X??????? ?????????()01()01{ } { }{ } { }niiiniiiix B Xv A X????? ?????????或 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 22 【 T626】 圖示系統(tǒng)中 , m1＝ m2＝ m3＝ m, k1＝ k2＝ k3＝ k, 設(shè)初始位移為 1, 初始速度為 0, 求初始激勵(lì)的自由振動(dòng)響應(yīng) 。 即 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiM Q M Q M?????? ??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 33 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiK Q K Q K?????? ?????? 由主質(zhì)量矩陣 [Mp]和主剛度矩陣 [Kp]可得到如下關(guān)系： 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TTppQ M Q M K Q K? ? ??? 主坐標(biāo) (將 [Mp]或 [Kp]右乘 [Q]1左乘 [Mp]1或 [Kp]1可證 )。 主坐標(biāo) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 38 設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)的初始條件為 {x0}和 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 對(duì)其進(jìn)行正則坐標(biāo)變換 ， 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（ 正則坐標(biāo) ） 下的初始條件 : }{ 0x?10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 39 利用單自由度的響應(yīng)公式可得到初始激勵(lì)下的正則坐標(biāo)響應(yīng) : 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????（ i＝ 1， 2， … n） 再變換到廣義坐標(biāo) {x}下的響應(yīng) ()1{ } [ ] { } { }niN N N N iix Q Z X Z??? ?上述過程也可以在主坐標(biāo)下進(jìn)行 。 （ 4） 對(duì)初始條件 標(biāo)準(zhǔn) （ 正則 ） 化 。 解 : （ 1） 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ?????? 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 42 （ 2） 2 2 21 2 30. 19 8 , 1. 55 5 , 3. 24 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X???????????? 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 43 （ 3） 求正則振型矩陣： ( 1 ) ( 1 )1 { } [ ] { } 9 . 2 9 6TM X M X m??( 2 ) ( 2 )2 { } [ ] { } 1 . 8 4 1TM X M X m??( 3 ) ( 3 )3 { } [ ] { } 2 . 8 6 3TM X M X m??( 1 ) ( 1 )10 . 3 2 811{ } { } 0 . 5 9 10 . 7 3 7NXXMm?????? ?????? 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 44 ( 3 ) ( 3 )30 . 5 9 111{ } { } 0 . 7 3 70 . 3 2 8NXXMm????? ? ???????0 . 3 2 8 0 . 7 3 7 0 . 5 9 11[ ] 0 . 5 9 1 0 . 3 2 8 0 . 7 3 70 . 7 3 7 0 . 5 9 1 0 . 3 2 8NQm???????? ??? 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) ( 2 ) ( 2 )20 . 7 3 711{ } { } 0 . 3 2 80 . 5 9 1NXXMm?????? ???????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 45 （ 4） 對(duì)初始條件正則化： 00{ } [ ] [ ] { }TNNZ Q M x?0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 0 . 7 3 7 1 1 . 6 5 60 . 7 3 7 0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 1 0 . 4 7 40 . 5 9 1 0 . 7 3 7 0 . 3 2 8 1 0 . 1 8 2mm? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 00{ } [ ] [ ] { }TNNZ Q M x?0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 0 . 7 3 7 0 00 . 7 3 7 0 . 3 2 8 0 . 5 9 1 0 00 . 5 9 1 0 . 7 3 7 0 . 3 2 8 0 0m? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 46 （ 5） 正則坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng) 101 1 0 1 11c o s s inNNN ZZ Z t t?????11 . 6 5 6 c o smt ??220 . 4 7 4 c o sNZ m t??330 . 1 8 2 c o sNZ m t?? 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 47 （ 6） 廣義坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng) { } [ ] { }NNx Q Z?0 .3 2 8 0 .7 3 7 0 .5 9 110 .5 9 1 0 .3 2 8 0 .7 3 70 .7 3 7 0 .5 9 1 0 .3 2 8m???????????1231 .6 5 6 c o s0 .4 7 4 c o s0 .1 8 2 c o stmtt?????????????1 2 31 2 31 2 30 . 5 4 3 c o s 0 . 3 4 9 c o s 0 . 1 0 7 c o s0 . 9 7 9 c o s 0 . 1 5 5 c o s 0 . 1 3 4 c o s0 . 1 2 2 c o s 0 . 2 8 c o s 0 . 0 5 9 c o st t tt t tt t t? ? ?? ? ?? ? ???????? ? ???????作業(yè)：用本節(jié)方法做 T629 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 48 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 求解強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的方法是前面的坐標(biāo)變換方法 ， 稱為 振型迭加法 或稱 模態(tài)分析法 。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 i01 ( ) sin [ ( ) ]tNi NiiZ P t d? ? ? ????? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 51 （ i＝ 1， 2， … n） 再變換到廣義坐標(biāo) {x}下 ()1{ } [ ] { } { }niN N N N iix Q Z X Z??? ?上述過程也可以在主坐標(biāo)下進(jìn)行 。 （ 4） 對(duì)初始條件 標(biāo)準(zhǔn) 化 。 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 53 【 T638】 彈簧支撐的兩個(gè)剛性均質(zhì)桿 ， 質(zhì)量均為 m， 在 B點(diǎn)用鉸鏈連接 , l＝ 3 m， 若 C點(diǎn)下面彈簧支撐點(diǎn)沿 y軸方向按諧波函數(shù) yg=dsin?t運(yùn)動(dòng) 。 因此多自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的求解非常困難 。 由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性或其它原因 ， 可能具有重特征值 ， 也就是有相同的固有頻率 。 記 {}{}{}abXXX??? ???? 將其正規(guī)化 ， 即得到第 i 階重特征值的振型 。 這時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示成 At+B的形式 （ 直線運(yùn)動(dòng) ） 。 出現(xiàn)這種情況的物理?xiàng)l件是系統(tǒng)有剛體位移或自由 自由邊界
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