淺談均值不等式的教學(xué)-預(yù)覽頁
【正文】 兩端的結(jié)構(gòu)、數(shù)字具有如下特征：1)次數(shù)相等；2)項(xiàng)數(shù)相等或不等式右側(cè)系數(shù)與左側(cè)項(xiàng)數(shù)相等； 3)左和右積。它也是高考的熱點(diǎn),且?？汲Ｐ隆ＷC明:≧ b2+c2≥2bc, a0, ? a(b2+c2)≥2abc同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 ≧a，b，c不全相等，? 上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。求積的最大值，可考慮用均值不等式求解。解：≧a0, b0, c0，故有不等式a+b+c≥3abc（見閱讀材料），即(a+b+c)y1z≥27abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式等號(hào)成立，故三角形為等邊三角形。同學(xué)們要學(xué)會(huì)觀察已知和未知的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)字特征，認(rèn)清其區(qū)別、聯(lián)系，聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)、方法，尋找解決問題的突破口。(x+4)(x+9)的定義域?yàn)?≦,0)∪(0,+≦)，上述解題過程中應(yīng)用x分析：函數(shù)y=了均值不等式，卻忽略了均值不等式成立的條件，因而導(dǎo)致錯(cuò)誤。x2錯(cuò)解：因?yàn)?x＞0, y=4x +≥x2所以當(dāng)且僅當(dāng)4x=9即y minx肆分析：錯(cuò)誤的原因是4x與9的積不是定值。1t正解：令≥2)，則 y=t+(t≥2)又因?yàn)閠≥1時(shí)，y=t+是遞增的。1x1y分析：錯(cuò)誤的原因是等號(hào)取不到。3161x1y由此可見，在應(yīng)用均值不等式求值時(shí)，一定要注意：一正（各項(xiàng)或各因式均為正），二定（和或積為定值），三相等(各項(xiàng)或各因式能取得相等的值)，若不具備這三個(gè)條件，則需作適當(dāng)?shù)淖冃危詽M足上述前提，減少錯(cuò)誤發(fā)生的可能性。3,則函數(shù)f(x)=(x3)+、b206。R+,求證：(a+11a)(b+b)179。4課堂小測(cè)：.已知正數(shù)a,b滿足ab=1,則1a+1b有最值為。；2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，M21）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝：和定積最大。2(a,b同號(hào)）aba2+b2a+b2a+b2179。R）（4）222三、學(xué)情自測(cè)已知a179。C、a+b179。2；③x2+2179。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a+b+c179。（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？五、當(dāng)堂檢測(cè)若a,b206。1，則3+9的最小值為___________。2x+3x+1,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)=k0,k為常數(shù),n206。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。過程與方法：（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會(huì)均值不等式的證明方法；（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。四、教學(xué)方法：為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。五、學(xué)生學(xué)法：在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識(shí)與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價(jià)值觀三個(gè)方面的共同發(fā)展。R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 0，求證：+abab179。________，x0,x+1x179。________,即ab163。首先針對(duì)黑板上這兩道題發(fā)動(dòng)學(xué)生上來捉錯(cuò)（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對(duì)定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識(shí)。2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若有必要，抽派小組代表到講臺(tái)上講解，及時(shí)反饋矯正。a,b206。通過作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。QnL、anaa206。2ab179。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)
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