淺談均值不等式的教學(xué)(已修改)
2024-11-06 07:26 本頁面
【正文】 第一篇：淺談均值不等式的教學(xué)數(shù)理淺談均值不等式的教學(xué)岳陽縣第四中學(xué)楊偉均值不等式是高中數(shù)學(xué)新教材第六章教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，它是證明不等式、解決求最值問題的重要工具，它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)。它也是高考的熱點(diǎn),且?？汲Ｐ隆Ｏ旅婢途挡坏仁降膽?yīng)用及需要注意的幾個問題舉例說明一、均值不等式的應(yīng)用（一）、通過特征分析，用于證不等式均值不等式：1)a2+b2≥2ab = ab +ab(a,b∈R)2)a+b ≥∈R+)兩端的結(jié)構(gòu)、數(shù)字具有如下特征：1)次數(shù)相等；2)項數(shù)相等或不等式右側(cè)系數(shù)與左側(cè)項數(shù)相等； 3)左和右積。當(dāng)要證的不等式具有上述特征時，考慮用均值不等式證明。例1．已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項式，左側(cè)6項，右側(cè)6項，左和右積，具備均值不等式的特征。證明:≧ b2+c2≥2bc, a0, ? a(b2+c2)≥2abc同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 ≧a，b，c不全相等，? 上述三個不等式中等號不能同時成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。（二）、抓條件“一正、二定、三等”求最值由均值不等式（2)，推證出最值定理及其使用的前提條件：“一正、二定、壹三相等”，求最值時，三者缺一不可。, y∈R+且9x+16y＝144，求xy的最大值。分析：由題設(shè)一正：x, y∈R+，二定: 9x+16y＝144。求積的最大值，可考慮用均值不等式求解。解：≧ x, y∈R+，?xy =19x+16y219x16y≤()=36 1442144當(dāng)且僅當(dāng)9x=16y，即x=8,y=9/2時，(xy)max= 某商品進(jìn)貨價為每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格每件x元（50≤x≤80）5時，每天銷售的件數(shù)為p=，若想每天獲得的利潤最多，則銷售價為多少元？2(x40)105105解：由題意：利潤S=(x50) =(x50)22(x40)(x50)+20(x50)+100100105，≧ x50≥0，?(x50)+≥20，=100(x50)(x50)++20(x50)105100=2500，當(dāng)且僅當(dāng)(x50)=?S≤，20+20(x50)即 x=60或x=40（不合題意舍去）.答：當(dāng)售價為60元時，每天獲得的利潤最多為2500元（三）、抓“當(dāng)且僅當(dāng)……等號成立”的條件，實現(xiàn)相等與不等的轉(zhuǎn)化在均值不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……等號成立”的“當(dāng)且僅當(dāng)”是“充要條件”的同義詞，它給出了相等與不等的界，是相等與不等轉(zhuǎn)化的突破口。例4．在ΔABC中，若三邊a，b，c滿足條件(a+b+c)3=27abc，試判定三角形ABC的形狀。分析：(a+b+c)3=27abc，具有三元均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，且屬均值不等式的特貳例(取等號情形)，所以有下面解法。解：≧a0, b0, c0，故有不等式a+b+c≥3abc（見閱讀材料），即(a+b+c)y1z≥27abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，上式等號成立，故三角形為等邊三角形。例5．已知x,y,z為正實數(shù)，且x+y+z=3, ++ =+y2+z2的值。解：由題設(shè)得(x+)+(y+)+(z+)=6≧ x,y,z0, ?, x+≥2 ,y+ ≥2 , z+ ≥2?.(x+)+(y+)+(z+)≥6此不等式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)上述三個不等式的等號同時成立，即x= ,y= , z=?x2=1,y2=1, z2=1, ?x2+y2+z2=：均值不等式給出了相等、不等的界，即等號成立的條件。總之，均值不等式成立的條件，結(jié)構(gòu)特征，積、和為定值，等號成立的條件，是理解應(yīng)用均值不等式的認(rèn)知角度。同學(xué)們要學(xué)會觀察已知和未知的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)字特征，認(rèn)清其區(qū)別、聯(lián)系，聯(lián)想相關(guān)的知識點(diǎn)、方法，尋找解決問題的突破口。1x1x1x1x1x1y1z1y1z1y1z1y1z二、需謹(jǐn)防的幾個誤區(qū)（一）、忽視定理成立的前提條件=(x+4)(x+9)的最值。x(x+4)(x+9)x2+13x+3636錯解：y===13+x+≥xxx當(dāng)且僅當(dāng)x =36即x時取等號。叁所以當(dāng)時，y的最小值為25，此函數(shù)沒有最大值。(x+4)(x+9)的定義域為(≦,0)∪(0,+≦)，上述解題過程中應(yīng)用x分析：函數(shù)y=了均值不等式，卻忽略了均值不等式成立的條件，因而導(dǎo)致錯誤。正解：函數(shù)y=(x
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