均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 2x)的最大值。2231。當(dāng)且僅當(dāng)2x技巧三： 分離=32x,即x=3230。0,247。x2+7x+10(x1)的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。即化為A+B(A0,B0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。2)t110,t=1，但t=解得t=177。)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間[2,+165。,+165。2248。xy1919246。=12故 (x+y)min=12。在1+9y179。正解：Qx0,y230。=++10179。=時，上式等號成立，又+xyxy變式：（1）若x,y206。 ＝x－2 b 2＋30b法一：a＝，ab＝（a,b206。R+），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，變式：0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2y ＝10＋23x y2=2=4+163?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。1246。求證：231。231。a248。c248。解：Qa、b、c206。同理1179。230。a=b=c=。247。247。b248。m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。16，m206。；2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，M21）.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝：和定積最大。2(a,b同號）aba2+b2a+b2a+b2179。R）（4）222三、學(xué)情自測已知a179。C、a+b179。2；③x2+2179。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時,考向二、利用均值不等式證明簡單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實數(shù)，求證：a+b+c179。（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小？五、當(dāng)堂檢測若a,b206。1，則3+9的最小值為___________。2x+3x+1,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)=k0,k為常數(shù),n206。2ab(2)若a,b206。(2)若a,b206。R*，則ab163。232。2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時179。2或x+1163。2即+179。22注：（1）,y206。湊項，∵x511246。2+3=1 247。54x評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。當(dāng)，即x＝2時取等號當(dāng)x＝2時，y=x(82x)的最大值為8。9解：∵0x∴32x0∴y=4x(32x)=22x(32x)163。= 222232。230。4232。當(dāng),即時,y179。5=9（當(dāng)t=2即x＝1時取“＝”號）。例：求函數(shù)y=A+B(A0,B0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不g(x)a的單x2的值域。1不在區(qū)間[2,+165。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y179。練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 1t5。248。xy19230。(x+y)179。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x+y179。230。=++10179。xyxyxy變式：（1）若x,y206。＝2 x2＋22下面將x，1y ＋分別看成兩個因式： 22x＋x＋ ≤222技巧八、取平方2y 212＋)x＋ ＋ 22223＝ ＝即1＋y＝2 解析：注意到2x1與52x的和為定值。故ymax= 2評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。230。求證：230。1247。8232。232。\11=1a=b+c179。230。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=111=8231。231。232。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x0,y0且1+9=1，求使不等式x+y179。,16]應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若ab1,P=lgalgb,Q=1a+b(lga+lgb),R=lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22分析：∵ab1 ∴l(xiāng)ga0,lgb0（lga+lgb)algb=p 2a+b1R=lg()lgab=lgab=Q∴RQP。)+2y=1,x、y206。(0,)),b,x,y206。R，則a+b179。R，則179。a+b246。）247。2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”x1若x0，則x+163。2或x+1163。2即+179。22『ps.(1)當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用』 應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x 2＋12x1（2）y＝x＋2x解題技巧技巧一：湊項例已知x51的最大值。x+1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x +3x+1,x206。R+且2x+y=1，求1+1的最小值 xy(2)已知a,b,x,技巧七已知x，y為正實數(shù)，且y206。22a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2ab+bc+ca+1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c206。1246。1246。231。a248。
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