【正文】 是一個縮小的過程，而且3解： 當(dāng)3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數(shù)，3a+3b≥23a3b=3a+b=6=3b時等號成立，由a+b=2及3a=3b得a=b=1即當(dāng)a=b=1時，3a+3b的最小值是6．11變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。xy1919246。+247。=12故 (x+y)min=12。xyxy232。在1+9y179。xy19=xy即y=9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。正解：Qx0,y230。y9x190,+=1，\x+y=(x+y)231。=++10179。xy248。=時，上式等號成立，又+xyxy變式：（1）若x,y206。R+且a+bxy=1，求x+y的最小值已知x，y為正實數(shù)，且x 2y 2＝1，求x1＋y 2 ：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 2。 ＝x＋y 2x 2＋（12≤y 2＋)222x 2＋＝y(tǒng) 21＋222＝即x1＋y 2 ＝2 －2 b 2＋30b法一：a＝，ab＝t＝8∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。（a,b206。R+）a+b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式a+b179。R+），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，變式：0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。技巧九、取平方已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a＋b≤a 2＋b2，本題很簡單3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。2y ＝10＋23x （2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20變式: 求函數(shù)y=解析：注意到2x1與52x的和為定值。y2=2=4+163。=時取等號?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。1246。1246。1246。求證：231。231。231。179。a248。b248。c248。aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c206。解：Qa、b、c206。\11ab+c1==179。同理1179。c述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1230。230。230。a=b=c=。111179。247。247。247。a248。b248。c248。m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。2。16，m206。,16] kk1a+b(lga+lgb),R=lg()，則P,Q,應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若ab1,P=algb,Q=分析：∵ab1 ∴l(xiāng)ga0,lgb0Q=（lga+lgb)lgalgb=p 2a+b1R=lg()lgab=lgab=Q∴RQP。；2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，M21）.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝：和定積最大。幾個重要的不等式（1）a+b179。2(a,b同號）aba2+b2a+b2a+b2179。R）（3）ab163。R）（4）222三、學(xué)情自測已知a179。0，且a+b=2，則（）112222A、ab163。C、a+b179。3 22給出下列不等式：①a+1179。2；③x2+2179。x長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時,考向二、利用均值不等式證明簡單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實數(shù)，求證：a+b+c179。8 xxyyzz1(a+b+c)2179。（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小？五、當(dāng)堂檢測若a,b206。、11ba+、+179。1，則3+9的最小值為___________。若對任意x0,22x163。2x+3x+1,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)=k0,k為常數(shù),n206。(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?第三篇：均值不等式應(yīng)用均值不等式應(yīng)用一．均值不等式22a+b1.(1)若a,b206。2ab(2)若a,b206。a=b時取“=”）2222.(1)若a,b206。(2)若a,b206。2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）2a+b246。R*，則ab163。）231。232。20，則x+取“=”）1）。2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時179。0，則x+1179。2或x+1163。2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）ba若ab185。2即+179。2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”bababaa+b2a2+,b206。22注：（1）,y206。（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”應(yīng)用一：求最值解題技巧：技巧一：湊項例1：已知x+5，求函數(shù)y=4x2+1的最大值。湊項，∵x511246。,\54x0，\y=4x2+=231。2+3=1 247。232。54x評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。1解析：由知，利用均值不等式求