【正文】 2r r nnp p n h h??????? ? ? ? ? ?56 122( 1 )( 1 )1 / 2 l n( / )( ) ( 1 ) ( 1 )22 2 12( ) ( 1 ) l n( / ) 22 rhnpu e mdnp pr X S n hn h hhnn h rh h h X S n h hnh???? ??? ? ? ????????? ? ? ??? ? ? ? ? ??21 / 2 , 。當(dāng) n→∞ ，可以用正態(tài)分布逼近（定理：獨(dú)立同分布下的中心極限定理）。n,p) 39 ( 。 ? 標(biāo)的股票當(dāng)前價(jià)格為 St=S，而在以后任意一期，股價(jià)的變化有上升和下降兩個(gè)可能。 3. 由 1期的股票價(jià)格得到期權(quán)價(jià)格，得到當(dāng)前期權(quán)的價(jià)格。 31 ?兩階段模型（ Twostep binomial tree) ?若把從定價(jià)日 t至到期日 T的時(shí)間區(qū)間 Tt，劃分為 2個(gè)階段，在每 1個(gè)階段，仍然假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格只可能取 2種狀態(tài)，上漲和下跌， 且上漲和下跌的幅度相等 ，則第2階段結(jié)束時(shí)候（ t=T），標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的取值為 3個(gè)，并且令 h為每個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度 22Tth ????兩階段模型示意圖 32 st ct su,cu u d u u d d sd,cd suu,cuu sud,cud sdd,cdd 其中， u＝ 1/d 兩階段模型 ? 第 2期本來(lái)有 4種狀態(tài)，為簡(jiǎn)化分析，不妨規(guī)定 u=1/d，則第 3兩種狀態(tài)為同一結(jié)果，故將其合并。 ? 組合貼現(xiàn)率的貼現(xiàn)率只能是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 ? 由于是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，對(duì)于理性投資者，不論其偏好如何，其風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)于這樣的組合是無(wú)關(guān)緊要。 ? 投資者最終都一致風(fēng)險(xiǎn)中性概率 p，它只取決于 r， u，d這三個(gè)客觀(guān)因子。 ? 在當(dāng)前時(shí)刻 t，已知股票的價(jià)格為 s，構(gòu)造上述組合的成本為 23 tN s B N S B? ? ?? 在到期時(shí)刻 T，若希望該組合的價(jià)值 v與買(mǎi)權(quán)的價(jià)值完全相同則必須滿(mǎn)足 u u r u d d r dNs B e c v Ns B e c??? ? ? ? ? ? 且? 由上兩式得到 ( ) /( ) ( ) /[( ) ]( ) /[( ) ] ( ) / ( ) /[( ) ]u d u d u dd u u d u d r d d ru d rN c c s s c c u d SB s c s c s s e N s c edc uc u d e???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? 由此得到的組合 稱(chēng)為合成期權(quán)（ synthetic option），由無(wú)套利定價(jià)原則，在當(dāng)前時(shí)刻 t買(mǎi)權(quán)的價(jià)值為 NS B?( ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) [ ( 1 ) ]tu d u d u d u r d rru r d r r ru r d rrru r d r u d rc N S Bc c dc uc c c dc e uc eSu d S u d e u dc de c ue e d u ec e c eu d u d u de d e dc e c e pc p c eu d u d???? ? ? ?????? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???redhe re p ud? ?? ?，例子 ? 假設(shè)有 1個(gè)股票買(mǎi)權(quán)合約，到期日為 1年，執(zhí)行價(jià)格為 112美元，股票當(dāng)前的價(jià)格為 100美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 8％（連續(xù)復(fù)利折算為單利）。 ? 如果 ST =X，則成為“兩平期權(quán)”。 ? 美式看跌期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日 T前或到期日、以執(zhí)行價(jià)格 X（向看跌期權(quán)出售方）賣(mài)出（“看跌”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。 ? CT ＝在到期日?qǐng)?zhí)行價(jià)格為 X的看漲期權(quán)的價(jià)值是 ST的函數(shù) 如果 STX，則成為“實(shí)值期權(quán)”。期權(quán)定價(jià)原理及其應(yīng)用 期權(quán)定價(jià)原理 期權(quán) ?期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日、以執(zhí)行價(jià)格（從期權(quán)出售方）買(mǎi)入或賣(mài)出相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。 到期日看漲期權(quán)的價(jià)值 ? ST ＝到期日 T相關(guān)資產(chǎn)或股票的價(jià)值或價(jià)格。 看跌期權(quán) ? 指定： —— 相關(guān)資產(chǎn) —— 執(zhí)行價(jià)格 (X) —— 到期日 (T) ? 歐式看跌期權(quán)賦予期權(quán)持有人只能在到期日 T、以執(zhí)行價(jià)格 X（向看跌期權(quán)出售方）賣(mài)出（“看跌”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。 ? 如果 ST X，則成為“虛值期權(quán)”。 目的：在買(mǎi)權(quán)到期日，上述投資組合的價(jià)值特征與買(mǎi)權(quán)完全相同。 ? 雖然個(gè)人對(duì) q的信念是不同的，但是在期權(quán)的定價(jià)過(guò)程中并沒(méi)有涉及到 q，也就是人們對(duì) q認(rèn)識(shí)的分歧并不影響對(duì)期權(quán)的定價(jià)結(jié)果。 ? 若 sT＝ su 29 [ ( ) /( ) ]u u d u d u u rv c c s s s c B e ?? ? ? ? ?若 sT＝ Sd [ ( ) /( ) ]d u d u d d d rv c c s s s c Be ?? ? ? ? ?? 投資者雖然投資于有風(fēng)險(xiǎn)的股票和期權(quán)，但是由二者構(gòu)成的組合 NS－ c，即相當(dāng)于投資 1個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券。 30 兩階段二叉樹(shù)定價(jià)模型 ? 由于標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格是 1個(gè)連續(xù)（接近連續(xù)）的隨機(jī)變量，不可能只有 2種情形，因此可以考慮將時(shí)間 Tt分為多段處理，首先介紹兩階段模型。 2. 采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，通過(guò)貼現(xiàn)得到 1期節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格。 ?數(shù)學(xué)意義：根據(jù)中心極限定理，若 n充分大，則二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布 ?思路： 推導(dǎo)出 n期的二項(xiàng)式模型，然后令 n趨于無(wú)窮。在貝努里試驗(yàn)中剛好取到 j次白球的概率記為 b(j。 , ) ( 1 ) [ ( 1 ) ] 1nnj j n j nnjjb j n p C p p p p???? ? ? ? ? ???( 1 )j j n jnC p p??例如第 j項(xiàng)就是 故上述分布又稱(chēng)為二項(xiàng)式分布，并且成立 recall： binomial distribution ? 由于二項(xiàng)式分布計(jì)算復(fù)雜，為簡(jiǎn)化計(jì)算。 , ) ( )2 ( 1 )k np xknp pik npb i n p e dx Nnp p?? ?????????? ?l im ( ) ( )( 1 )nnY npP y N ynp p??? ???42 參照 2階段模型的思路，從最后的 n期（ T時(shí)刻）開(kāi)始逐期向前推導(dǎo)，則期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻 t的價(jià)格為 00[ ( 1 ) m a x( 0 , ) ] [ ( 1 ) m a x( 0 , ) ]nj j n j j n j nr htnjnj j n j j n j rnjc C p p Su d X eC p p Su d X e?? ? ??? ? ??? ? ?? ? ???公式意義：在 風(fēng)險(xiǎn)中性世界里 ，將期權(quán)到期時(shí)所有的可能值對(duì)當(dāng)前時(shí)刻貼現(xiàn)，并以風(fēng)險(xiǎn)中性概率加權(quán)，得到的是期權(quán)現(xiàn)值的期望值。 1 。把該期權(quán)有效期劃分成 N個(gè)長(zhǎng)度為 h的小區(qū)間，令 表示在時(shí)間 時(shí)第 j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值， 同時(shí)用 表示結(jié)點(diǎn) 處的證券價(jià)格 ，可得： ? 后， 假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下： 71 , m a x( , 0)j N jNjf X Su d ??? 1 , 1 1 ,[ ( 1 ) ]rij i j i jf e pf p f?? ? ? ?? ? ?)0,0( ijNif ij ????ih j i jSu d ?),( jiihExample: American Put Option (See Example , page 391) S = 50。 T = 5 months = (year)。 = 。 ? 二叉樹(shù)模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理相一致，即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，資產(chǎn)價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)的實(shí)際概率并沒(méi)有進(jìn)入二叉樹(shù)模型，模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率，從而為期權(quán)定價(jià)。 09:33:0109:33:0109:333/15/2023 9:33:01 AM ? 1以我獨(dú)沈久，愧君相見(jiàn)頻。 2023年 3月 15日星期三 上午 9時(shí) 33分 1秒 09:33: ? 1比不了得就不比，得不到的就不要。 上午 9時(shí) 33分 1秒 上午 9時(shí) 33分 09:33: ? 沒(méi)有失敗，只有暫時(shí)停止成功！。 09:33:0109:33:0109:33Wednesday, March 15, 2023 ? 1不知香積寺，數(shù)里入云峰。 2023年 3月 上午 9時(shí) 33分 :33March 15, 2023 ? 1少年十五二十時(shí)，步行奪得胡馬騎。 09:33:0109:33:0109:333/15/2023 9:33:01 AM ? 1越是沒(méi)有本領(lǐng)的就越加自命不凡。 :33:0109:33:01March 15, 2023 ? 1意志堅(jiān)強(qiáng)的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。 上午 9時(shí) 33分 1秒 上午 9時(shí) 33分 09:33: MOMODA POWERPOINT Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. 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