高二數(shù)學命題的四種形式-預覽頁
【正文】 ＋ 1)x＋ a2＋ 2≤0的解集非空 ， 則 a≥1”的逆否命題的真假 ． 例 4【 思路點撥 】 【 解 】 法一：原命題的逆否命題： 已知 a， x為實數(shù) ， 若 a＜ 1， 則關于 x的不等式 x2＋(2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤ 0的解集為空集 ． 判斷其真假如下： 拋物線 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2開口向上 ， 判別式 Δ＝ (2a＋ 1)2－ 4(a2＋ 2)＝ 4a－ 7. 因為 a1， 所以 4a－ 70. 即拋物線 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2與 x軸無交點 ． 所以關于 x的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤ 0的解集為空集 ． 故原命題的逆否命題為真 ． 法二： 先判斷原命題的真假： 因為 a ， x 為實數(shù)，且關于 x 的不等式 x2＋ ( 2 a ＋ 1 ) x＋ a2＋ 2 ≤ 0 的解集非空， 所以 Δ ＝ ( 2 a ＋ 1 )2－ 4 ( a2＋ 2 ) ≥ 0 ，即 4 a － 7 ≥ 0 ， 解得 a ≥74.因為 a ≥74， 所以 a ≥ 1 ，所以原命題為真 ． 又因為原命題與其逆否命題等價， 所以逆否命題為真 ． 【 名師點評 】 命題的問題可以和其他很多知識相結合 ， 例如本題就是一道有關集合 ， 不等式的解集 ， 二次函數(shù)的圖象 ， 四種命題的關系的綜合題 ． 要求對這幾方面的內容非常熟練 ， 且要有一定的分析推理能力 ， 通過一題多解 ， 培養(yǎng)學生創(chuàng)新的能力 ． 1．四種命題的理解 (1)原命題：它是相對其他三種命題而言人為指定的命題，不是固定不變的，可以把任意一個命題看成原命題，進而研究它的其他形式． (2)逆命題，把原命題的條件作為結論，而原命題的結論作為條件，得到的命題稱為原命題的逆命題． (3)否命題：將原命題中的條件和結論同時加以否定后得到的命題稱為原命題的否命題． 方法感悟 (4)逆否命題：將原命題的條件加以否定，作為結論，而原命題的結論加以否定作為條件得到的新命題稱為原命題的逆否命題． 2．四種命題的真假判斷 (1)原命題為真，它的逆命題可以為真，也可以為假． (2)原命題為真，它的否命題可以為真，也可以為假． (3)原命題為真，它的逆否命題一定為真． (4)互為逆否的命題同真同假，同一個命題的逆命題和否命題是一對互為逆否的命題，所以它們同真同假． 綜合上述四條可知，在同一個命題的四種命題中，真命題的個數(shù)要么是 0，要么是 2，要么是 4.
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