【正文】 1 3 4 5 3 2 X+Y2 0 0 3 3 3 6 P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解 :列表 例 1 設(shè) ( X,Y )的聯(lián)合分布律為 1/20 6/20 2 3/20 2/20 1 3/20 5/20 1 2 1 X Y 2) ( X,Y )取值為可列個(gè) ,僅討論兩相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布 . 即設(shè) X ,Y 相互獨(dú)立 , 其概率分布為 P{X=k}= P (k) k = 0,1,2,… P{Y=r}= Q(r) r = 0,1,2,… 求 : Z =X+Y 的概率分布 解 : Z 的可能取值為 0,1,2,… P{ Z=i }=P{ X+Y= i} =P{X=0,Y=i}+P{X=1,Y = i1}+…+ P{ X=i,Y=0} ????????????????ikkiQkPikkiYPkXPikkiYkXP0)()(0}{}{0},{此結(jié)果可作為公式使用 ,稱(chēng)為 離散型的卷積公式 =P{X=0,Y=i}+P{X=1,Y = i1}+…+ P{ X=i,Y=0} 解：依題意 ???????riirYiXPrZP0},{}{例 2 若 X和 Y相互獨(dú)立 ,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布 , 證明 Z=X+Y服從參數(shù)為 21 ,??21 ?? ?的泊松分布 . 由卷積公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… !}{ 11ieiXP i?????!}{ 22jejYP j????????????riirYiXPrZP0},{}{????rir i λi λ( r i ) !λei!λe021 21?????rir ii)λ( λλλi ! ( r i ) !r!r!e02121,)(! 21)( 21rre ???? ?? ??即 Z服從參數(shù)為 的泊松分布 . 21 ?? ?r =0,1， … ??????riirYPiXP0}{}{例 3 設(shè) X和 Y相互獨(dú)立， X~B(n1, p),Y~B(n2, p),求 Z=X+Y 的分布 . 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋 : 同樣， Y是在 n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p. 若 X~ B(n1,p),則 X 是在 n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率都為 p. 故 Z=X+Y 是在 n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p，于是 Z是以（ n1+n2， p）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即 Z ~ B(n1+n2, p). 設(shè) ( X,Y) 為連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度 f (x , y)，又 Z=g (X,Y) ( g (x , y)為已知的連續(xù)函數(shù) )。如果求得了FZ(z) ,那么可通過(guò) 求出 Z 的概率密度 。由題可知，若 X,Y獨(dú)立服從同一分布 則 服從參數(shù)為 ? 的瑞利分布。記為： YXZ fff ??例 7：設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立，都服從 N(0,1)分布求 Z=X+Y 的密度 22 ()22( ) ( ) ( )12Z X Yzxxf z f x f z x d xe e d x?????????????? ???解 ： 　 　　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　? ???? ???? dxeezxz 22 )2(421?4422221212/ztzedteezxt?????????? ???令)2,0(~)122212(2222NZdxedxextdtexxt　　　?。眲t　　令１　　???????????????????????????機(jī)變量的情形此結(jié)論可推廣到ｎ個(gè)隨則　　相互獨(dú)立，注：一般，設(shè)),(~),(~),(~,22212221???????? baNYXZbNYaNXYX 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布 . 更一般地 , 可以證明 : ),(~,2,1),(~2222121212nnnkkkNXXXZnkNX?????????????????????? 則且它們相互獨(dú)立設(shè) 例 8：設(shè) X， Y是相互獨(dú)立且其概率密度分別為 ??? ????? ???? 00)( 010)(其他　　　　其他１　　　yeyfxxfyYX 求： Z = X+Y 的概率密度 解：當(dāng) z≤ 0時(shí) (x≤ 0或 y≤ 0) f (x,y)=0 故 f Z ( z )=0 當(dāng) 0≤ z ≤ 1時(shí) 0 z 1 zzzz xzYXZeeedxedxxzfxfzf?????????????????1)1(.1)()()(0)(　　　 當(dāng) z 1 時(shí) )1(.1)()()(10)( ??????????????eedxedxxzfxfzfzxzYXZ　　　????????????????　　　　　　其他　　　　　　　　　　　　　　　　　的密度函數(shù)01)1(101)( zeezezfYXZzzZ0 1 z ??????????21),( ),( }{)( ,),(),(DDzd x d yyxfd x d yyxfzZPzFZYXZYXZyxfYX的分布函數(shù)為的概率密度現(xiàn)求又的聯(lián)合概率密度為設(shè)商的分布)2(? ??? ?? ??? 0 ),(),(1yzDd x d yyxfd x d yyxf而yx1D2Dzyx ?? ??? ???yz z duyyuyfdxyxf ),(),(得? ?? ?????????????zzDd y d uyyuyfd u d yyyuyfdxdyyxf00),(),(),(1于是),0(),(, ?????yyxudxyxfyz yz 作換元積分對(duì)于固定的? ??? ?? ??? 0 ),(),(:2yzDd u d yyyuyfd x d yyxf類(lèi)似地可得? ??? ???? z d yd uyyuyf0 ),(? ????????0),(),(1yzDd x d yyxfd x d yyxf而yx1D2Dzyx ????? ??21),(),()(:DDz d x d yyxfd x d yyxfzF故有:的概率密度為由概率密度定義可得YXZ ??? ? ???? ?? ?? 00 ]),(),([ dudyyyuyfdyyyuyfz? ??? ????? z dudyyyufy ]),(||[? ????? dyyyzfyzf Z ),(||)(: 相互獨(dú)立時(shí)有與當(dāng) YX ? ????? dyyfyzfyzf YXz )()(||)(.)()( 的概率密度和分別為和其中 YXyfxf YX29 : ,0 2 0( ) { ( ) {0 0 0 0:.xyXYXYe x e yf x f yxyXZY?????????例 設(shè) 和 相 互 獨(dú) 立 它 們 的 概 率 密 度 分 別 為求 的 概 率 密 度? ????? dyyfyzfyzfZ YXZ )()(||)(: 的概率密度為解2202z 0 ( ) 2( 2 )y z yZf z y e e d y z?? ??? ? ? ???當(dāng) 時(shí)z 0 , ( ) 0Zfz??當(dāng) 時(shí)22 z0( 2) ( )0 z 0ZX zZ f zY? ????? ?? ??所 以 的 概 率 密 度 為的分布函數(shù)與現(xiàn)在求的分布函數(shù)為設(shè) NMyxFYX ),(),(的分布及 ),m i n (),m a x ()3( YXNYXM ??),(},{ }),{ m a x(}{)(zzFzYzXPzYXPzMPzF M????????? ? ? ? ? ?? ?).,()()( 11 },{1}),{ m i n (1 }),{ m i n (}{)(zzFzFzFzzFzFzFzYzXPzYXPzYXPzNPzFYXYXN???????????????????，.,)(),( 的邊緣分布函數(shù)分別為 YXyFxF YX))(1))((1(1)( )()()(zFzFzFzFzFzFYXYXNYXM?????獨(dú)立時(shí)有與當(dāng)),2,1)((, 21nixFXnXXXiXini???的分布函數(shù)為且個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是設(shè).的情形個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量上兩式容易推廣到 n)](1[)](1) ] [(1[1)()()()()(),m i n ( ),m a x (21212121zFzFzFzFzFzFzFzFXXXNXXXMnXXXNXnXXMnn????????????的分布函數(shù)為則nNnMnzFzFzFzFxFXXX)](1[1)( )]([)( ),(, 21????則有布函數(shù)相互獨(dú)立具有相同的分若 ?1 0 ,12( 1 ) ( 2 ) , ,12,0 0( ) ( )0 0 0 00 , 0 ,.L L LLLXYx yex eyf x f yXYx yLZ? ?? ???? ???? ? ?????? ??? ???例 ： 設(shè) 系 統(tǒng) 由 兩 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 子 系 統(tǒng) 和 聯(lián) 接 而 成其 聯(lián) 接 方 式 分 別 為 串 聯(lián) 并 聯(lián) 如 圖 所 示 設(shè) 和的 壽 命 分 別 為 和 已 知 它 們 的 密 度 函 數(shù) 分 別 為其 中 試 分 別 就 以 上 兩 種 聯(lián) 接 方 式求 出 系 統(tǒng) 的 壽 命 的 概 率 密 度X Y 1L 2LX 1LY 2L分布函數(shù)分別為和 YX的概率密度為得 Z的分布函數(shù)為Z),m i n (,21YXZLLLL?的壽命為所以這時(shí)工作就停止系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí)和當(dāng)解 : (1)串聯(lián)情況 ??????????? ??0 001)](1) ] [(1[1)( )(zzeyFxFzF zYXZ??X Y 1L 2L?????????????? ??0 001)(0 001)(yyeyFxxexF yYxX????