【正文】 zzfzZ??如果一隨機變量的概率密度為上式，稱該隨機變量服從參數為 ?的瑞利分布。 )(),( yfxfYX 這兩個公式稱為連續(xù)型隨機變量分布的卷積公式，簡稱為連續(xù)型的卷積公式。 ),0( 2?N 22 YXZ ??設 (X,Y)的聯合概率密度為 f(x,y)，現求 Z=X+Y 的概率密度。 dzzdFzf ZZ)()( ?)(zfZ求解過程中，關鍵在于將事件 {Z≤z}等價地轉化為用(X,Y)表示的事件 {g(X,Y) ≤z}={(X,Y) }, 其中 。大部分情況下， Z是一連續(xù)型隨機變量。（ i=1,2,3, j=1,2,3）。 由獨立性定義可證 “若 X 與 Y 相互獨立，則對于任意實數 x1 x2, y1y2, 事件 { x1 X ≤ x2} 與事件 { y1 Y ≤y2} 相互獨立”。若在點(x,y)處 f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度 fY(y)連續(xù)，且 fY(y)0，則有： )(),(2/)]()([2/)],(),([lim)()(),(),(lim}{},{lim)(000yFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYYYYYYX??????????????????????????????????????????????????亦即 ?????? ?? xYYxYX duyfyufyfduyufyxF )( ),()(),()( 類似地在相應條件下可得在 X=x 條件下 Y 的條件概率密度為 )(),()(xfyxfxyfXXY ?若記 為條件 Y=y下 X的條件概率函數，則由上式知： )(),()(yfyxfyxfYYX ?)( yxf YX????????其它011),(22 yxyxf ?且有邊緣概率密度 ??????????? ????其它011121 21122yydxyy ??當－ 1y1時有： ????????????????其它＝01112112/1)(),()(2222yxyyyyfyxfyxfYYX ??解： (X,Y)的概率密度為 ? ????? dxyxfyf Y ),()(例 2： 設隨機變量 (X,Y)在區(qū)域 D={(x,y)∣ x2+y2≤1}上服從均勻分布，求條件概率密度 。 dyeexfxxyyxydyyxfxfxyxXX???????????? ????????????????????? ?????????2)1(212)(221212122112221212222112222121121)()())((2)(,),()(???????????????????????????于是由于解：??????????????????????? ?????????????????yeyfxedteexfxytyYxtxX,21)(,2121)(1122222121221212)(22)(122)(111222??????????????????同理則有令：結論： 1)由聯合密度能唯一確定兩個邊緣密度 , 反之不然 2)二維正態(tài)分布的兩邊緣分布均為一維正態(tài)分布，且不依賴于 ρ。 解： ｛ X=i,Y=j｝的可能取值情況是： i=1, 2, 3, 4, j=1, … , i P{X=i,Y=j}=P{Y=j |X=i} P{ X=i } iji ,...1 4,3,2,1i 411 ????所以（ X,Y）的聯合分布律為 1/16 0 0 0 4 1/16 1/12 0 0 3 1/16 1/12 1/8 0 2 1/16 1/12 1/8 1/4 1 4 3 2 1 X Y 關于 X 的邊緣分布 4,3,2,1 4141}{11????? ????iiPiXPijijij關于 X 的邊緣分布 4,3,2,1 4141}{11????? ????iiPiXPijijij4,3,2,1 41}{4ji4ji???? ????jiPjYP ij關于 Y的邊緣分布 例 3：某人進行射擊，擊中目標的概率為 p（ 0 p1） , 射擊進行到擊中兩次目標為止，設 X 表示第一次擊中目標時的射擊次數， Y 表示共進行射擊的次數，試求X和 Y 的聯合分布和邊緣分布。設 ( X, Y )的聯合分布函數 F (x, y) 時，則 ),(),(lim},{lim},{}{)(yFyxFyYxXPyYXPyYPyFxxY????????????????????求得兩個邊緣分布函數 第二節(jié) 邊緣分布 ? ?),(),(l i m},{l i m},{}{????????????????????xFyxFyYxXPYxXPxXPxFyyX例 1：設二維隨機向量 (X,Y)的聯合分布函數為 }2{}30,20{)3(。這里“隨機投擲一點”的含義是指該點落入 S 內任何部分區(qū)域內的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關 . }.10,10{2,14,22??????YXPYXyxYX）（）的概率密度；）（求（上服從均勻分布，）在圓域例：設（? ??????????????1010.4141),(}10,10{10,102??dydxd x d yyxfYXPyxGG所以所確定的區(qū)域，為不等式）（???????????其他。43{)2( 。和或分布律，或隨機變量的概率分布量）為二維離散型隨機變則稱（YXYX ),(* (X,Y)的分布律也可用表格形式表示 Y X y1 y2 … y j … x 1 x2 . . xi p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . pi1 pi2 pij… 例 1:從一個裝有 2個紅球 ,3個白球和 4個黑球的袋中隨機地取 3個球 ,設 X和 Y分別表示取出的紅球數和白球數 ,求(X,Y)的分布律 ,并求 P{X≤1,Y2},P{X+Y=2},及 P{X=1}. 843391322 /}1,2{ ???? CCCYXP解 :X的可能值為 0,1,2,Y的可能為 0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值為 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1). 由古典概率計算可得 8443934 /}0,0{ ???? CCYXP8418392413 /}1,0{ ???? CCCYXP 8412391423 /}2,0{ ???? CCCYXP8413933 /}3,0{ ???? CCYXP 8412392412 /}0,1{ ???? CCCYXP842439141312 /}1,1{ ???? CCCCYXP 846392312 /}2,1{ ???? CCCYXP844391422 /}0,2{ ???? CCCYXP于是 (X,Y)的分布可用表示 Y X 0 1 2 3 0 1 2 4/84 18/84 12/84 1/84 12/84 24/84 6/84 0 4/84 3/84 0 0 由 (X,Y)的分布律 ,所求概率為 6 9 0 8458842484128418844}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}2,1{????????????????????YXPYXPYXPYXPYXP???????????yyxxijijjijiPyYxXPyxFYXjipyYxXPYX},{),(),(3,2,1,},{),(的分布函數為則的分布律為設離散型隨機變量?844084484248412}0,2{}1,1{}2,0{}2{????????????????YXPYXPYXPYXP844284684248412}2,1{}1,1{}0,1{}1{???????????????YXPYXPYXPXP例：設隨機變量 X 在 1,2,3,4四個整數中等可能的取值， 另一個隨機變量 Y 在 1~X中等可能的取一整數值，試 求 （ X,Y） 的分布律。第三章 隨機向量 第一節(jié) 二維隨機向量及其分布 第二節(jié) 邊緣分布 第三節(jié) 條件分布 第四節(jié) 隨機變量的獨立性 第五節(jié) 兩個隨機變量的函數的分布 本章主要內容 二維隨機向量及其分布函數 定義 1：設 E是一個隨機試驗，它的樣本空間是 ?={e}.設 X(e)與 Y(e)是定義在同一樣本空間 ?上的兩個 隨機變量 ,則稱 (X(e),Y(e))為 ?上的 二維隨機向量或二維隨機變量。 設 (X,Y)的一切可能值為 ( xi, yj )， i,j=1,2,… ，且 ( X,Y )取各對可能值的概率為 P{X=xi， Y=yj}= pij， i,j=1,2,… （ *） (1) 非負性 : pij≥0， i， j=1， 2… ； 1)2(,??jiijp規(guī)范性：的聯合分布律。0),()1( ?yxf),(),(,),(),()3(2yxfyx yxFyxyxf ????則連續(xù)在若????GdxdyyxfGYXPxOyG),(}),{( ,)4( 則平面的一區(qū)域為設}21,41{)4( 21)3( }。 （ 如 圖 ）1 O y x y=22x G ()0020 ( 1 ) 1 ( , ) c e =c ( e ) 3xyyf x y d x d yd y d xdyc? ? ? ?? ? ? ???????????????＋ ＋＋解 ： 由 概 率 密 度 的 性 質 知得1?c????? ????? ?? ????? ??其他） 00,0 xe ),()yx,( 20 0)(