【正文】 x yx yyxyd yd xd xd yyxfF??? ???????其他 00,0 )1)(1( yxee yxdx dyyxGYXPG???? ),(f}),{( 3 ））后（先 xy 220 )(10 ?? ? ??? x yx dyedx?}.{3,21.,0,0,0,),(,)32(YXPYXkyxkeyxfYXyx???? ?????）求（）的分布函數(shù)；）求（；（）確定常數(shù)（其他）的概率密度為例：設(shè)二維隨機(jī)變量（.6161),(10 0320 0)32(??????? ?? ? ? ??? ?????????????? ????kkdyedxekdxdykedxdyyxfyxyx于是，）由性質(zhì)有解：（????????????? ?? ??????? ??.,0,0,0),1)(1(6),(),()2(0 032)32(其他由定義有y xyxvuy xxyeed u d ved u d vvufyxF5/2)1(36),(),(}{)3(0230 0)32(??????????????? ??? ???????????dyeedydxed x d yyxfd x d yyxfYXPyyyyxD yx 設(shè) G是平面上的有界區(qū)域 , 其面積為 S, 若二維隨機(jī)變量 ( X ,Y ) 的概率密度為 ????? ??其它0),(1),( GyxSyxf設(shè) ( X ,Y ) 在區(qū)域 G上服從均勻分布 , D為 G 內(nèi)的一區(qū)域 ,即 D?G,且 D的面積為 S(D),那么 SDSd x d ySd x d yyxfDYXP DD)(1),(}),{( ???? ????二維均勻分布 則稱(chēng) ( X,Y ) 在區(qū)域 G 上服從均勻分布 . 若說(shuō)向區(qū)域 S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，將其質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)用（ X,Y）來(lái)表示，則（ X,Y）服從該區(qū)域的均勻分布。 ),( 21 nXXX ?nxxx , 21 ?},{),...,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF ???? ?),( 21 nXXX ? X 和 Y 自身的分布函數(shù)分別稱(chēng)為二維隨機(jī)向量( X,Y )關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布函數(shù)，分別記為 FX (x), FY (y)。 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1， 2， 3， 4四個(gè)整數(shù)中等可能的取值，另一隨機(jī)變量 Y 在 1～ X 中可能的取一整數(shù)值，試求（ X,Y）的聯(lián)合分布律和其邊緣分布律。 滿 足將 試 驗(yàn) 獨(dú)立 地 重 復(fù) 次 以 分 別 表 示 次 試 驗(yàn) 中 出現(xiàn) 的 次 數(shù) 求 的 分 布 律 及 關(guān) 于 和 關(guān) 于 的邊 緣 分 布 律,)1(,212121212121321213221121kknkkkknkkpppppppkknAkAkAnkk???????????次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為在其余次試驗(yàn)中出現(xiàn)在另外指定的某次試驗(yàn)中出現(xiàn)在指定的某由于試驗(yàn)的獨(dú)立性時(shí)當(dāng)2121211211211211)1(},{,.,212121212211kknkkkknknkknknkknknkknknppppCCkYkXPCCCCCCAAkAkAn???????????因此個(gè)事件兩兩互斥的種不同順序?qū)Χ疫@種不同的出現(xiàn)順序總共有次試驗(yàn)中出現(xiàn)可在其中任意而次試驗(yàn)中出現(xiàn)可在其中任意次試驗(yàn)中考慮到在nkppCkYPYknkkn ,2,1,0,)1(}{ 2222222 ????? ?的邊緣分布律為同樣可求得關(guān)于nkknkkppppCCkYkXPYXkknkkkknkn???????????2121212121,1,0,)1(},{),(2121211?的分布律為所以).,(~,2,1,0,)1(},{}{1111210111112pnbXnkppCkYkXPkXPXknkknknk可見(jiàn)的邊緣分布律為關(guān)于????????????二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布 設(shè) ( X,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度 f (x, y)， 則 ? ??? ???????? xX dxdyyxfxFxF )),((),()(從而， X 的概率密度為 ? ?????? dyyxfdx xdFxf XX ),()()(.),()(),(的邊緣概率密度和關(guān)于關(guān)于為分別稱(chēng) YXYXyfxf YX同理， Y的概率密度為 ? ?????? dxyxfdy ydFyf YY ),()()(61)(: 10 ??? ? dxxxSD 的面積區(qū)域解)) . ((),( , }|),{( ),(:32如圖概率密度的邊緣和求關(guān)于均勻分布上服從在區(qū)域設(shè)二維隨機(jī)向量例yfxfYXyxyyxDYXYX???其它的概率密度為所以06{),(),(2 yxyyxfYX???x O y 2yx ??????????????????其它的邊緣概率密度：關(guān)于010)(66 ),()(xxXxxxdydyyxfxfX?????????????????其它的邊緣概率密度：關(guān)于010)(66 ),()(22yyYyyydxdxyxfyfY x O y 2yx ?例：求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度。 X Y 1 2 3 4 P{Y=yi} 1 2 3 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 2/16 25/48 13/48 10/48 P{X=xi} 1/4 1/4 1/4 1/4 解 ：（ 1）由聯(lián)合分布律表可知邊緣分布律 .于是 的條件分布律為的條件下即，在 XYYXPYXPYXPYXP12534825/161}1|4{2544825/121}1|3{2564825/81}1|2{25124825/41}1|1{?????????????????X 1 2 3 4 P 12/25 6/25 4/25 3/25 (2)同理可求得在 X=2的條件下 Y 的條件分布律為 Y 1 2 3 P 1/2 1/2 0 例 1： 一射手進(jìn)行射擊 ,每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p(0p1)且假設(shè)各次擊中目標(biāo)與否相互獨(dú)立 ,射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止 .設(shè)以 X表示到第一次擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù) ,以 Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù) .試求 (X,Y)的聯(lián)合分布律和條件分布律 . pqimnmqpnYmXP n????????? ?1,2,1,2,1,},{ 22??解 : (X,Y)的聯(lián)合分布律為： ...2,1 },{}{ 11221???????????????mpqqpnYmXPmXPmmnnmn＝＝又...3,2 )1( },{}{ 22112211??????????????nqpnqpnymXPnYPnnmnnm＝＝1,2,111)1(}|{,3,22222????????????nmnqpnqpnYmXPXnYnnn??的條件分布律為下在條件對(duì)于固定的??,2,1}|{,2,11122?????????????mmnpqpqqpmXnYPYmXmmnmn的條件分布律為下在條件對(duì)于固定的...2,1 },{}{ 11221???????????????mpqqpnYmXPmXPmmnnmn＝＝又二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布 定義 7： 對(duì)固定的實(shí)數(shù) y，設(shè)對(duì)于任意給定的正數(shù) ε， P{ yε Y ≤ y+ε}0, 且若對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，極限 }{lim 0 ??? ??????? yYyxXP}{},{lim0 ????? ???????????? yYyPyYyxXP存在，則稱(chēng)此極限為在條件 Y=y下 X 的條件分布函數(shù)， 記作 P 或記為 . }{ yYxX ?? )( yxFYX同樣 ,在 X=x條件下隨機(jī)變量 Y的條件分布函數(shù) }{lim)( 0 ??? ?????? ?? xXxyYPxyF XY為)|( xyF XY設(shè) (X,Y)的分布函數(shù)為 F(x,y)，概率密度為 f(x,y)。 P { x1 X ≤ x2 , y1 Y ≤ y2} =F ( x2, y2 ) – F ( x2, y1 ) – F ( x1, y2) + F ( x1 , y1 ) = FX ( x2) FY ( y2) FX (x2)FY( y1) FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1) =[ FX (x2) –FX (x1)][ FY (y2)FY (y1)] = P{ x1 X ≤ x2} P{ y1 Y ≤ y2} 所以事件 {x1X≤ x2}與 {y1Y≤ y2}是相互獨(dú)立的。 X Y 1 0 2 1/2 2/20 1/20 2/20 1 2/20 1/20 2/20 1/2 4/20 2/20 4/20 問(wèn) X與 Y相互獨(dú)立嗎？ 解 : X與 Y的邊緣分布律分別為 X 1/2 1 1/2 pi. 1/4 1/4 1/2 Y 1 0 2 2/5 1/5 2/5 逐一驗(yàn)證可知， pij= pi . ?????? ?000)(yyeyf yY由于 X與 Y相互獨(dú)立，所以 ( X,Y )的概率密度為 ??? ??????其它00,0)()(),( )( yxeyfxfyxf yxYX于是 ???????1),(}1{yxdxdyyxfYXP解 : 設(shè) f X (x) , f Y ( y) 分別為 X和 Y的概率密度，則 ?????? ?000)(xxexf xX2 6 4 110 10 )( ???? ?? ??? ? edyedx x yx第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 1) ( X,Y ) 取值為有限個(gè) . 分析與一維類(lèi)似 . 求下列隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 (1) Z=2XY (2) Z=X+Y 2 (X,Y) (1,1) (1,1) (1,2) (2,1) (2,1) (2,2) 2XY －