【正文】 由題可知，若 X,Y獨(dú)立服從同一分布 則 服從參數(shù)為 ? 的瑞利分布。 ?????? ?000)(yyeyf yY由于 X與 Y相互獨(dú)立，所以 ( X,Y )的概率密度為 ??? ??????其它00,0)()(),( )( yxeyfxfyxf yxYX于是 ???????1),(}1{yxdxdyyxfYXP解 : 設(shè) f X (x) , f Y ( y) 分別為 X和 Y的概率密度，則 ?????? ?000)(xxexf xX2 6 4 110 10 )( ???? ?? ??? ? edyedx x yx第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 1) ( X,Y ) 取值為有限個(gè) . 分析與一維類似 . 求下列隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 (1) Z=2XY (2) Z=X+Y 2 (X,Y) (1,1) (1,1) (1,2) (2,1) (2,1) (2,2) 2XY － 1 3 4 5 3 2 X+Y2 0 0 3 3 3 6 P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解 :列表 例 1 設(shè) ( X,Y )的聯(lián)合分布律為 1/20 6/20 2 3/20 2/20 1 3/20 5/20 1 2 1 X Y 2) ( X,Y )取值為可列個(gè) ,僅討論兩相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布 . 即設(shè) X ,Y 相互獨(dú)立 , 其概率分布為 P{X=k}= P (k) k = 0,1,2,… P{Y=r}= Q(r) r = 0,1,2,… 求 : Z =X+Y 的概率分布 解 : Z 的可能取值為 0,1,2,… P{ Z=i }=P{ X+Y= i} =P{X=0,Y=i}+P{X=1,Y = i1}+…+ P{ X=i,Y=0} ????????????????ikkiQkPikkiYPkXPikkiYkXP0)()(0}{}{0},{此結(jié)果可作為公式使用 ,稱為 離散型的卷積公式 =P{X=0,Y=i}+P{X=1,Y = i1}+…+ P{ X=i,Y=0} 解：依題意 ???????riirYiXPrZP0},{}{例 2 若 X和 Y相互獨(dú)立 ,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布 , 證明 Z=X+Y服從參數(shù)為 21 ,??21 ?? ?的泊松分布 . 由卷積公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… !}{ 11ieiXP i?????!}{ 22jejYP j????????????riirYiXPrZP0},{}{????rir i λi λ( r i ) !λei!λe021 21?????rir ii)λ( λλλi ! ( r i ) !r!r!e02121,)(! 21)( 21rre ???? ?? ??即 Z服從參數(shù)為 的泊松分布 . 21 ?? ?r =0,1， … ??????riirYPiXP0}{}{例 3 設(shè) X和 Y相互獨(dú)立， X~B(n1, p),Y~B(n2, p),求 Z=X+Y 的分布 . 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋 : 同樣， Y是在 n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p. 若 X~ B(n1,p),則 X 是在 n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ,每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率都為 p. 故 Z=X+Y 是在 n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p，于是 Z是以（ n1+n2， p）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即 Z ~ B(n1+n2, p). 設(shè) ( X,Y) 為連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度 f (x , y)，又 Z=g (X,Y) ( g (x , y)為已知的連續(xù)函數(shù) )。 P { x1 X ≤ x2 , y1 Y ≤ y2} =F ( x2, y2 ) – F ( x2, y1 ) – F ( x1, y2) + F ( x1 , y1 ) = FX ( x2) FY ( y2) FX (x2)FY( y1) FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1) =[ FX (x2) –FX (x1)][ FY (y2)FY (y1)] = P{ x1 X ≤ x2} P{ y1 Y ≤ y2} 所以事件 {x1X≤ x2}與 {y1Y≤ y2}是相互獨(dú)立的。 滿 足將 試 驗(yàn) 獨(dú)立 地 重 復(fù) 次 以 分 別 表 示 次 試 驗(yàn) 中 出現(xiàn) 的 次 數(shù) 求 的 分 布 律 及 關(guān) 于 和 關(guān) 于 的邊 緣 分 布 律,)1(,212121212121321213221121kknkkkknkkpppppppkknAkAkAnkk???????????次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為在其余次試驗(yàn)中出現(xiàn)在另外指定的某次試驗(yàn)中出現(xiàn)在指定的某由于試驗(yàn)的獨(dú)立性時(shí)當(dāng)2121211211211211)1(},{,.,212121212211kknkkkknknkknknkknknkknknppppCCkYkXPCCCCCCAAkAkAn???????????因此個(gè)事件兩兩互斥的種不同順序?qū)Χ疫@種不同的出現(xiàn)順序總共有次試驗(yàn)中出現(xiàn)可在其中任意而次試驗(yàn)中出現(xiàn)可在其中任意次試驗(yàn)中考慮到在nkppCkYPYknkkn ,2,1,0,)1(}{ 2222222 ????? ?的邊緣分布律為同樣可求得關(guān)于nkknkkppppCCkYkXPYXkknkkkknkn???????????2121212121,1,0,)1(},{),(2121211?的分布律為所以).,(~,2,1,0,)1(},{}{1111210111112pnbXnkppCkYkXPkXPXknkknknk可見的邊緣分布律為關(guān)于????????????二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布 設(shè) ( X,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度 f (x, y)， 則 ? ??? ???????? xX dxdyyxfxFxF )),((),()(從而， X 的概率密度為 ? ?????? dyyxfdx xdFxf XX ),()()(.),()(),(的邊緣概率密度和關(guān)于關(guān)于為分別稱 YXYXyfxf YX同理， Y的概率密度為 ? ?????? dxyxfdy ydFyf YY ),()()(61)(: 10 ??? ? dxxxSD 的面積區(qū)域解)) . ((),( , }|),{( ),(:32如圖概率密度的邊緣和求關(guān)于均勻分布上服從在區(qū)域設(shè)二維隨機(jī)向量例yfxfYXyxyyxDYXYX???其它的概率密度為所以06{),(),(2 yxyyxfYX???x O y 2yx ??????????????????其它的邊緣概率密度：關(guān)于010)(66 ),()(xxXxxxdydyyxfxfX?????????????????其它的邊緣概率密度：關(guān)于010)(66 ),()(22yyYyyydxdxyxfyfY x O y 2yx ?例：求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度。 ),( 21 nXXX ?nxxx , 21 ?},{),...,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF ???? ?),( 21 nXXX ? X 和 Y 自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機(jī)向量( X,Y )關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布函數(shù)，分別記為 FX (x), FY (y)。0),()1( ?yxf),(),(,),(),()3(2yxfyx yxFyxyxf ????則連續(xù)在若????GdxdyyxfGYXPxOyG),(}),{( ,)4( 則平面的一區(qū)域?yàn)樵O(shè)}21,41{)4( 21)3( }。第三章 隨機(jī)向量 第一節(jié) 二維隨機(jī)向量及其分布 第二節(jié) 邊緣分布 第三節(jié) 條件分布 第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 本章主要內(nèi)容 二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù) 定義 1：設(shè) E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 ?={e}.設(shè) X(e)與 Y(e)是定義在同一樣本空間 ?上的兩個(gè) 隨機(jī)變量 ,則稱 (X(e),Y(e))為 ?上的 二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。43{)2( 。設(shè) ( X, Y )的聯(lián)合分布函數(shù) F (x, y) 時(shí)，則 ),(),(lim},{lim},{}{)(yFyxFyYxXPyYXPyYPyFxxY????????????????????求得兩個(gè)邊緣分布函數(shù) 第二節(jié) 邊緣分布 ? ?),(),(l i m},{l i m},{}{????????????????????xFyxFyYxXPYxXPxXPxFyyX例 1：設(shè)二維隨機(jī)向量 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 }2{}30,20{)3(。 dyeexfxxyyxydyyxfxfxyxXX???????????? ????????????????????? ?????????2)1(212)(221212122112221212222112222121121)()())((2)(,),()(???????????????????????????于是由于解：??????????????????????? ?????????????????yeyfxedteexfxytyYxtxX,21)(,2121)(1122222121221212)(22)(122)(111222??????????????????同理則有令：結(jié)論： 1)由聯(lián)合密度能唯一確定兩個(gè)邊緣密度 , 反之不然 2)二維正態(tài)分布的兩邊緣分布均為一維正態(tài)分布，且不依賴于 ρ。 由獨(dú)立性定義可證 “若 X 與 Y 相互獨(dú)立，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 x2, y1y2, 事件 { x1 X ≤ x2} 與事件 { y1 Y ≤y2} 相互獨(dú)立”。大部分情況下， Z是一連續(xù)型隨機(jī)變量。 ),0( 2?N 22 YXZ ??設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)，現(xiàn)求 Z=X+Y 的概率密度。 ),0(~),0(~ 22 ?? NYNX22 YXZ ??